1. События и их классификация. Алгебра событий. Поле событий.

Явление имеющее место при опыте называется событием (т.е. в рез-те опыта это проявление какого-то события)

Классификация событий

1.Достоверное событие – такое событие если заведомо известно, что при испытании оно обязательно произойдет

2. Событие назыв. невозможным если при опыте оно не происходит

3. Событие назыв. случайным если при опыте оно может произойти, а может не произойти

4.Два события назыв. несовместными, если появление одного из них исключает появление другого

5. Два события назыв. совместными если появление одного из них не исключает появление другого (при этом одновременно их появление не обязательно)

6. Несколько событий назыв. равно возможными, если при опыте нельзя отдать предпочтение какому-нибудь одному из них

7. События наз. единственно возможными если при опыте хотябы одно из них обязательно произойдет

8. Два события наз. зависимыми если наступление одного из них зависит от того наступило ли другое.

9.События наз. независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступления другого.

Алгебра событий

Пусть A и B события связанные с одним и тем же экспериментом.

Объединение двух событий A и B назыв. такое событие C=AuB (или их суммой C=A+B), если оно состоит в том, что произошло или A, или B, или оба вместе (т.е. хотя бы одно из них произошло)

Аналогично определяется любое семейство событий, в частности:

AuU=U

Au =A

Au =

– противоположное событие

U – достоверное

Пересечение (или произведение) событий A и B это событие D=AnB (или D=AB), которое наступает, если наступают и A, и B.

An =

An =

AnU=A

2.Определение вероятности как функции на поле событий

Пусть S-поле событий связанное с каким-либо экспериментом.

Вероятностью на поле S назыв. ф-ция P, которая каждому событию A из( S сопоставляет число P(A), обладающее следующими св-вами:

1)

2)P( =0, P(U)=1

3)Если A₁, A₂,…A_n,… и попарно не совместны, т.е. A_i A_s= , то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей, т.е. :

3.Классическое определение вероятности. Геометрическая трактовка вероятности.

Относит. Частотой случайных событий назыв. отношение числа испытаний m в которых событие произошло к общему числу событий n проведенных испытаний.

P(A)=

Для геометрической трактовки рассматривают опыт состоящий в бросании точки в квадрат со стороной равной 1.

P(A)=

рис. 1 Совместн. AuB

рис. 2 Несовместн. AnB

Для рис. 1 : AuB=пл.A+пл.B

AnB=

C геометрич. точки зрения P(A)=пл. A

4.Полная группа событий

Совокупность событий A₁,A₂,…,A_n из поля S назыв. полной группой событий если выполнены условия:

1)они попарно не совместны

A_i A_j=

2)хотя бы одно из них обязат. произойдет

(1)Следствие из аксиомы сложения вероятностей.

1)сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1

Док-во (основано на аксиоме сложения вероятностей):

P(U)=1

2)если в частности события A_i равновозможные, тогда P(A_i)=

(2)Вероятность противоположного события опред. так:

)= 1-P(A)

Док-во:

Действительно, A и образуют полную группу, т.е. An = , а объединение Au =U, т.е. по пункту (1) - P(A)+ P( )=1