- •События и их классификация. Алгебра событий. Поле событий.
- •2.Определение вероятности как функции на поле событий
- •3.Классическое определение вероятности. Геометрическая трактовка вероятности.
- •4.Полная группа событий
- •5. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Понятие условной вероятности.
- •12. Пуассоновская случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Случаи применения этой случайной величины.
- •13. (Смотри 8)Непрерывная случайная величина и ее функция распределения
- •15.Равномерное распределение, его характеристики. График ф-ции плотности и ф-ции распределения
- •16. Экспоненциальное распределение и случаи
- •17.Нормальный закон распределения
- •19.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
- •20.Смысл теоремы Ляпунова и теоремы Муавра-Лапласа
- •21.Понятие о генеральной совокупности и выборке из нее. Два способа составления выборки. Понятие об оценке параметра
- •19.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
- •20.Смысл теоремы Ляпунова и теоремы Муавра-Лапласа
- •21.Понятие о генеральной совокупности и выборке из нее. Два способа составления выборки. Понятие об оценке параметра
- •22. Виды вариационных рядов.(джамиля)
- •22. Виды вариационных рядов.(Вика)
19.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Предельная теорема – общее название ряда теорем теор. Вер. указывающие условия возникновения тех или иных закономерностей в рез-те большего числа факторов . Эти теоремы обычно делят на 2 категории – закон больших чисел и центральная предельная теорема
Устойчивость среднего арифметического представляет собой содержание закона больших чисел, т.е. при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случ. Вел и сможет быть передан с большей степенью определенности
З-н больших чисел
Рассм. Бесконечную последовательность случ. Вел. х1,х2,х3…хn, оказывается, что при достаточно широких предположениях относительно послед {xn} случ вел их среднего ариф. при больших n ведет себя почти как не случ вел.
Опр. Последовательность случ. Вел {xn} имеющих мат. ожидание подчиняется з.б.ч. если для любого >0 выполняется соотношение
=1 (1)
Т.е. ср. арифм. Случ. Вел. с вероятностью весьма близкой к 1 отличается от средн. арифм их мат. Ожидания при достаточно больших n на сколь угодно малую величину.
Чтобы выяснить какой должна быть последовательность для з.б. ч. Запишем (1) в др. виде для этого обозначим ср. арифм. Случ вел
= M( =
Т.е. мат ожидание ср. арифм случ. Вел. равно ср. арифм. их мат ожиданий. Тогда ф-лу(1)перепишем так
=1 (1a)
Или переходя к противоположному событию
=0 (2)
{Xn} подчиняется з.б.ч выполняется усл(2) для любого 0
Теорема(лемма) Чебышева: пусть Х неотриц. Случ. Вел. имещая мат. Ожидание тогда для любого t>0 выполняется неравенство
P(X
Док-во
Ограничимся рассмотрением дискретной случ. вел Х. Пусть ее возможное значение будет Х1,Х2,Х3
принимают с вероятностями Р1,Р2,Р3… по усл. Все Хк>0 при всех к.
Мы рассм. =P(X ч.т.д (3)
для непрерывной случ. Вел.л д-во аналогично нуж. Только Pk заменить на вероятность попадания в инт-л
Пояснение неравенство Чебышева дает весьма грубую оценку сверху что бывает полезно,т.к. быстро вычисляется. Однако это неравенство имеет большой теоретич. Интерес.т.к. оно стало вожным и удобным инструментом в теор. вер.
можем заменить ее на P( при любом t 0, X не обязат. 0
20.Смысл теоремы Ляпунова и теоремы Муавра-Лапласа
Теорема Ляпунова
Пусть Хn последовательность попарно независимых случ. Вел. распределенных по любым законам и удовлетворяющим некоторым условиям. При достаточно больших n нормированное ср. арифм первых n членов последовательности распределено по закону близкому к нормированному нормальному, т.е. выполняется
<X) = Ф(Х)
Теорема Ляпунова объясняет почему случайное явление очень часто описывается нормальным законом. Дело в том, что они обусловлены наложением многих случ. Факторов и хотя они распределены по различным законам, то результат (ср. арифм) распределяется по закону близкому к нормальному надо только следить чтобы ни один из факторов не имел решающего значения
Теорема Муавра-Лапласа
Локальная т. М-Л
при n→∞
Вероятность биноминального з-на примерно выражается так:
+ 0( )
a=np
Интегральная т. М-Л
При достаточно больших значениях npq справедлива ф-ла
P( ) где Ф(Х) =
npq – для хорошей точности должно быть порядок неск. Сотен
Она описывает предельное поведение сумм большого числа малых вероятностей