19.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

Предельная теорема – общее название ряда теорем теор. Вер. указывающие условия возникновения тех или иных закономерностей в рез-те большего числа факторов . Эти теоремы обычно делят на 2 категории – закон больших чисел и центральная предельная теорема

Устойчивость среднего арифметического представляет собой содержание закона больших чисел, т.е. при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случ. Вел и сможет быть передан с большей степенью определенности

З-н больших чисел

Рассм. Бесконечную последовательность случ. Вел. х₁,х₂,х₃…х_n, оказывается, что при достаточно широких предположениях относительно послед {x_n} случ вел их среднего ариф. при больших n ведет себя почти как не случ вел.

Опр. Последовательность случ. Вел {x_n} имеющих мат. ожидание подчиняется з.б.ч. если для любого >0 выполняется соотношение

=1 (1)

Т.е. ср. арифм. Случ. Вел. с вероятностью весьма близкой к 1 отличается от средн. арифм их мат. Ожидания при достаточно больших n на сколь угодно малую величину.

Чтобы выяснить какой должна быть последовательность для з.б. ч. Запишем (1) в др. виде для этого обозначим ср. арифм. Случ вел

= M( =

Т.е. мат ожидание ср. арифм случ. Вел. равно ср. арифм. их мат ожиданий. Тогда ф-лу(1)перепишем так

=1 (1a)

Или переходя к противоположному событию

=0 (2)

{X_n} подчиняется з.б.ч выполняется усл(2) для любого 0

Теорема(лемма) Чебышева: пусть Х неотриц. Случ. Вел. имещая мат. Ожидание тогда для любого t>0 выполняется неравенство

P(X

Док-во

Ограничимся рассмотрением дискретной случ. вел Х. Пусть ее возможное значение будет Х₁,Х₂,Х₃

принимают с вероятностями Р₁,Р₂,Р₃… по усл. Все Х_к>0 при всех к.

Мы рассм. =P(X ч.т.д (3)

для непрерывной случ. Вел.л д-во аналогично нуж. Только P_k заменить на вероятность попадания в инт-л

Пояснение неравенство Чебышева дает весьма грубую оценку сверху что бывает полезно,т.к. быстро вычисляется. Однако это неравенство имеет большой теоретич. Интерес.т.к. оно стало вожным и удобным инструментом в теор. вер.

можем заменить ее на P( при любом t 0, X не обязат. 0

20.Смысл теоремы Ляпунова и теоремы Муавра-Лапласа

Теорема Ляпунова

Пусть Хn последовательность попарно независимых случ. Вел. распределенных по любым законам и удовлетворяющим некоторым условиям. При достаточно больших n нормированное ср. арифм первых n членов последовательности распределено по закону близкому к нормированному нормальному, т.е. выполняется

<X) = Ф(Х)

Теорема Ляпунова объясняет почему случайное явление очень часто описывается нормальным законом. Дело в том, что они обусловлены наложением многих случ. Факторов и хотя они распределены по различным законам, то результат (ср. арифм) распределяется по закону близкому к нормальному надо только следить чтобы ни один из факторов не имел решающего значения

Теорема Муавра-Лапласа

Локальная т. М-Л

при n→∞

Вероятность биноминального з-на примерно выражается так:

+ 0( )

a=np

Интегральная т. М-Л

При достаточно больших значениях npq справедлива ф-ла

P( ) где Ф(Х) =

npq – для хорошей точности должно быть порядок неск. Сотен

Она описывает предельное поведение сумм большого числа малых вероятностей