Расчет сечения, составленного из прокатных профилей.

Найти: а) размеры поперечного сечения используя метод последовательных приближений

Б)критическую силу и коэф. запаса устойчивости

1)Подбор сечения методом последовательных приближений

Условие устойчивости сжатого стержня: σ_max=F/φA≤R=240МПа

Задаем начальный коэф. приближения φ₁=0,5. Определяем требуемую площадь поперечного сечения:

A_nec≥F / φR=3200×10³ /0.5×240×10⁶=266,67×10^-4м²=266,67см²

Требуемая площадь сечения одного швеллера:

А^шв_nec=A_nec/4= 266.67/4=66.67 см²

По сортаменту выбираем швеллер и др. имеющие геом. характеристики: A^шв, h, b, t,d, I_x, I_y, z₀

-площадь составного сечения A=nA^шв, n-кол-во элементов

-моменты инерции сечения:

I_y=2I^шв_x+2[A^шв(z₀)²+I^уг_у]

I_x=2I^шв_x+2[A^шв(h/2+d-z₀)²+^Iшв_у]

i_x=√I_x / A=17.08; i_y=√ I_y / A=11.52

Минимальный радиус инерции поперечного сечения равен: i_min=i_{(y или x)}=11.52

1-ое приближение:

Гибкость стержня: λ=(μ×1) / i_min=18,23

φ₁=0,988-((0,988-0,967)/10)×(18.23-10)=0.971

Так как φ₁ отличается от ранее принятого φ, то выполняем расчет на устойчивость при новом значении коэффициента продольного изгиба.

2-ое приближение: φ₂=(φ₁+φ₁ )/ 2=(0.5+0.971)/2=0.735

A_nec=F/φ ₂R=3200×10³/0.735×240×10⁶=181,32×10^-4м²=181,32см²

Требуемая площадь сечения одного швеллера равна: A_nec^шв= A_nec / n=181,32/4=45.33

По сортаменту выбираем швеллер и др. имеющие геом. характеристики: A^шв, h, b, t,d, I_x, I_y, z₀

- площадь составного сечения: A=nA^шв, n-кол-во элементов

-моменты инерции сечения: I_y=2I^шв_x+2[A^шв(z₀)²+I^уг_у]

I_x=2I^шв_x+2[A^шв(h/2+d-z₀)²+^Iшв_у]

i_x=√I_x/A; i_y=√ I_y/A

Минимальный радиус инерции поперечного сечения равен: i_min=i_{(y или x)}=8,88

Вычисляем гибкость стержня:

λ=(μ×1) / i_min=0,7×300 / 8,88=23,64

φ₂=((0,967-(0,967-0,939)/10)×(23.64-20)=0.957

Расчетные напряжение поперечном сечении сжатой стойки:

σ=F/φ₂×A=(3200×10³)/ 0.957×162,00×10^-4=206,45МПа<R=240МПа

Недогрузка сечения составляет: (240,00-206,45)/240×100%=13.98%>5%

3-ие приближение:

φ₃=(φ₂+φ₂) /2=(0.735+0.957)/2=0.846

A_nec=F/φ ₃R=3200×10³/0.846×240×10⁶=157.59×10^-4м² =157.59см²

Требуемая площадь сечения одного швеллера равна: A_nec^шв= A_nec / n=157.59/4=39.40см²

Где n-кол-во элементов.

По сортаменту выбираем швеллер и др. имеющие геом. характеристики: A^шв, h, b, t,d, I_x, I_y, z₀

- площадь составного сечения: A=nA^шв, n-кол-во элементов

-моменты инерции сечения:

I_y=2I^шв_x+2[A^шв(z₀)²+I^уг_у]

I_x=2I^шв_x+2[A^шв(h/2+d-z₀)²+^Iшв_у]

i_x=√I_x / A; i_y=√ I_y / A

Минимальный радиус инерции поперечного сечения равен: i_min=i_{(y или x)}=8,12

Вычисляем гибкость стержня:

λ=(μ×1) / i_min=0,7×300 / 8,12=25,88

φ₃=((0,967-(0,967-0,939)/10)×(25,88-20)=0.951

Находим величину расчетных напряжений в поперечном сечении сжатой стойки:

σ=F/φ×A=(3200×10³)/ 0,951×140,80×10^-4=2239,10МПа<R=240МПа

Перегрузка сечения составляет: (240,00-239,10)/240×100%=0,38%<5%

2)Определяем критическую силу

σ=π²×Е/λ²

Максимальные сжимающие напряжения не должны превышать предела пропорциональности материала. Находим граничное число гибкости при условии σ_pr=200МПа Е=2,0×10⁵МПа

λ ₀=√π²Е/ σ_pr =99.3

Расчетная гибкост стержня λ=25.88<λ ₀=99.3 Стержни малой гибкости имеют развитое сечение по сравнению с высотой и прежде потеряют прочность чем устойчивость, т е применяем: σ_cr=σ_y=245МПа

F_cr= σ_сr A= π²Е/λ²×A=245,00×10⁶×140,80×10^-4=3449,60×10³H=3449,60кН

Коэф. запаса устойчивости равен: k=F_cr/F= 3449,60/3200=1,078