Устойчивость однопролётных стержней постоянного сечения.

Сечения элементов сжатых осевой силой, кот. получены из условий прочности при чистом осевом сжатии не всегда соответствует эксплуатационным требованиям. При определённых соотношениях параметров сечения и длины стержня, он при определённой величине продольной силы может внезапно выпучиваться, т.е. переходить из прямолинейной формы равновесия в новую искривлённую форму равновесия. Это явление наз. потерей устойчивости (ПУ), а сила способная изогнуть и удержать стержень в таком положении наз. критической силой. Различают ПУ формы и ПУ равновесия.

ПУ формы – выпучивание стержня под действием осевой силы. ПУ равновесия – обрушение конструкции из-за возможной неправильной расстановке связей. Величина критической силы не зависит от прочностных свойств материала.

Задача Эйлера.

Эйлер впервые решил задачу об определении критической силы для шарнирно-опёртого стержня постоянной жёсткости.

EJ=const, Fкр-?, y(z)-?

Воспользуемся приближённым диф. ур-ием изгиба, кроме этого рассмотрим криволинейную форму равновесия.

Константы A и B определяются из граничных кинематических условий: при z=0, y(0)=0, 0=A0+B1 => B=0. y(z)=Asinkz (3) – точное решение, стержень изгибается по синусоиде. Решение наз. точным, т.к не было введено каких-либо новых гипотез и допущений, кроме введённых в самом начале курса.

1) При z=l, y(l)=0, 0=Asinkl. А=0 => из (3): y(z)=0, стержень не теряет устойчивость, этот вариант не интересует.

2) При A≠0, sinkl=0, kl=0,π,2π,…,nπ,

- ф-ла Эйлера, точное решение. Максимальная критическая сила равна при n=1, (5). Эта ф-ла была обобщена на остальные 3 варианта операния концов однопролётного стержня. Окончательный вид: (6).

μ – коэффициент приведения длины, означает сколько раз прямолинейный стержень укладывается на длине полуволны синусоиды; μl – длина эйлерового стержня, имеющую одинаковую с данным стержнем критическую силу.

Критические напряжения:

(7)

(8) – гибкость стержня.

=11=

Влияние условий закрепления стержня на величину критической силы.

=6=

Внецентренное растяжение-сжатие. Вывод формулы нормальных напряжений.

В условиях внецентренного сжатия работают крайние колонны каркаса здания, колонны пром.зданий при наличии мостовых кранов.

Это сложный вид сопротивления, который можно представить в виде комбинации простых типов сопротивления:

чистого осевого сжатия, изгиб относительно оси Х, изгиб относительно оси Y.

Определим нормальное напряжение в i-той точке бруса 1-ого квадрата, имеющего координаты (x_i;y_i), как сумму напряжений от каждого силового фактора.

__(1)

Более общая формула: __(1’)

“+” -при внецентренном растяжении.

“-” - при внецентренном сжатии.

Формулы (1) и (1’) переходят в формулу центрального осевого сжатия при X_F=Y_F=0

Из ф-лы (1’) следует, что напряжение зависит от координат приложения силы и от координат рассматриваемой точки x_i и y_i => при внецентренном растяжении или сжатии напряжение распределено по поперечному сечению неравномерно и, возможно, имеет разный знак.

=12=