=1=

Виды перемещений. Точное и приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Одним из важнейших этапов расчета реальных конструкций, помимо расчетов на прочность, является расчет на жесткость. Для этого необходимо знать прогибы и углы поворотов сечения балки. Под прогибом понимают линейное перемещение точки оси балки в вертикальном направлении (горизонтальным перемещением в виду относительной малости прогибов пренебрегают). Прогиб положителен, если перемещение точки происходит в направлении оси. Угол поворота сечения – угол между сечением, перпендикулярным к точке оси балки до деформации, и таким же перпендикуляром после деформации. Значение линейных и угловых перемещений необходимо для расчета статически неопределимых задач при плоском изгибе, для составления уравнений совместимости деформаций. Цель подобного рода задач – нахождение уравнения упругой линии балки.

Как видно из рисунка: (1). Строительные конструкции проектируются с условием, что углы поворота сечений малы и не превышают 1˚, поэтому можно считать (2). Воспользуемся известным из курса математики уравнением связи между кривизной линии и ее производным в виде: (3), где ρ - радиус кривизны. Известно, что (4). Из (3) и (4) получаем: (5) – точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, применяемое в основном для расчета конструкций при больших деформациях. Если (6) – приближенное дифференциальное уравнение изогнутой ос балки. В общем случае изогнутая ось балки – плоская лекальная кривая.

=7=

Внецентренное растяжение-сжатие. Уравнение нейтральной линии.

Нейтральная линия – геометрическое место точек в пределах сечения бруса, напряжения в которых = 0. Нейтральная линия делит сечение на 2 зоны: растянутую и сжатую.

Определим ур-е нейтральной линии, используя формулу (1’):

; ;

; __(3)

Или __(4)

(4) - уравнение прямой линии в отрезках,

где и - отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях инерции.

__(5)

Покажем на примере прямоугольного сечения:

!!!!!!!!!!!

Как следует из рисунка, наиболее опасные точки в сечении – точки, наиболее удалённые от нейтральной линии:

В сжатой зоне - точка А(X_A;Y_A);

В растянутой зоне - точка В(X_B;Y_B).

Условие прочности для материала, одинаково сопротивляющегося на растяжение и сжатие (сталь 3) записывается для наиболее удалённой точки:

1) Если R_сж = R_растяж (сталь)=R

__(6)

2) Если материал имеет разные сопротивления на растяжение и сжатие (бетон, алюминий, чугун, дерево и т.д.), т.е.

__(7)

__(8)

=2=

Метод непосредственного интегрирования приближенного дифференциального уравнения изгиба.

Из выражения (6) двукратным интегрированием получаем: (7) – функция угла поворота сечения. (8) – функция прогибов. Константы C и D находят в каждом конкретном случае из граничных кинематических условий (по перемещениям).

Пример:

Для заданной балки определить функции прогибов и углов поворота, а также перемещения свободного конца.

.

при z=l .

при z=0 .

- угол поворота сечения в начале координат.

.

при z=l .

при z=0 .

Метод непосредственного интегрирования.

=3=

Графо-аналитический метод определения перемещения.

Часто нет необходимости получать расчетом выражение y(z) и θ(z), а требуется только определить перемещение в отдельных точках балки.

Он основан на аналогии с записей: (*), (**). Пусть задана балка с известной нагрузкой и опорными устройствами, для которой выполняется условие (*), пусть эта балка будет действительной. Возьмем воображаемую (фиктивную) балку той же длины, с пока неизвестными опорами устройствами, для которой справедливо выражение (**).

Если принять - фиктивная нагрузка.

Эпюра моментов для действительной балки, тогда

(1). После двукратного интегрирования левой и правой части выражения (1) получим 2 пары констант: левая часть Сл ; Д л. Правая часть: Спр; Дпр. Если потребовать: Сл=Спр, Дл=Дпр => (2). (3). Из выражения (2) и (3)=> граничные кинематичные условия для действительной балки должны точно соответствовать граничным статическим условиям (условиям по усилиям) для фиктивной балки.

Пример.

EI=const, ; ;

=4=

Вывод уравнения методом начальных параметров (уравнение универсальной линии балки). Частные случаи граничных условий.

Возьмем балку с известными граничными кинематическими условиями, содержащую весь набор силовых воздействий. Условия решения:

1. начало отсчета (начало координат) всегда располагается в крайней левой точке оси балки;

2. моменты M(z) в любом случае сечения балки вычисляют как сумму моментов всех сил расположенных только слева от сечения;

3. скобки вида (z-a), (z-b), (z-c) – только положительны;

4. интегрирование выражений M(z) выполняют без раскрытия скобок;

5. сосредоточенный момент действующий на балку представляют в виде M=M(x-a);

6. компенсация распределенной нагрузки.

Найдем функцию изгибающего момента на IV участке:

.

На III участке:

.

Используем приближенное дифференциальное уравнение изгиба:

.

Для IV участка:

(1).

Для III участка:

(2).

Проинтегрируем дважды выражения (1) и (2):

для IV: (3);

для III: (4);

для IV: (5);

для III: (6).

Для того чтобы упругая линия балки была правильной кривизны необходимо, чтобы выражения попарно (3) и (4); (5) и (6) численно совпадали на границе III и IV участков, т.е. при z=c: .

И вообще: (7).

Определим обе константы из граничных условий первого участка: .

При z=0 имеем: (8).

C и D имеют смысл угла поворота в начале координат (C) и прогиба в начале координат (D). и называют начальными параметрами. Подставляем (8) в уравнение (5) и, обобщая формулу для любого количества внешних сил и их направлений, получаем уравнение начальных параметров.

(9),

где z – абсцисса точки, где отыскивают перемещения,

, - абсциссы точек приложения i-ого сосредоточенного момента и к-ой сосредоточенной силы соответственно,

- абсцисса начала действия распределенной нагрузки.

Знак «+» в уравнении (9) принимают в том случае, если данный силовой фактор сообщает точкам оси балки положительные перемещения.

Пример:

Для заделки

.

Частные случаи определения начальных параметров.

1. Если начало отсчета расположено в заделке, то .

2. Если начало отсчета – шарнирная опора, то .

Для определения угла поворота в начале отсчета необходимо составить уравнение начальных параметров для точки B, где =0: .

Начало отсчета на свободном конце левой консоли.

Составить выражения для прогиба и угла поворота не возможно. .

.

=5=

Балки равного сопротивления

До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение которых оставалось постоянным по длине. Такие стержни, особенно при значительной их длине, нельзя считать рациональными с точки зрения веса и расхода материала, так как размеры сечения подбираются по усилиям, действующим в опасном сечении, в остальных же сечениях получается весьма значительный избыток прочности. Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и не превышает допускаемого значения. Условие, определяющее форму такой балки, получим из условия прочности:

отсюда можем записать

То есть у балки равного сопротивления момент сопротивления данного сечения должен быть прямо пропорционален изгибающему моменту в этом сечении.

В большинстве случаев закон изменения сечения балки равного сопротивления имеет лишь теоретическое значение. Однако он служит той идеальной моделью, на которую в случае необходимости может ориентироваться инженер при реальном конструировании.

=8=