§ 2. Формулы алгебры высказываний и их истинностное значение.

Пусть А,В,С, ... простые высказывания, принимающие одно из двух значений И или Л.

С помощью логических операций из них можно образовать более сложные высказывания: , АВ, ВС, АВ и так далее. Из этих высказываний с помощью тех же логических операций можно образовать еще более сложные высказывания, например, ((АВ) ВС)), (АВ)( ВС), ((ВС)  ).

Определение. Всякое сложное высказывание, составленное из простых высказываний с помощью логических операций и скобок, называется формулой алгебры высказываний.

В любой формуле важную роль играют скобки, которые как и в обычной алгебре определяют порядок выполнения операций. Условились внешние скобки в формулах опускать, что не влияет на порядок выполнения операций. Например, в первой и третьей написанных выше формулах внешние скобки можно опустить.

Простые высказывания могут иметь постоянные значения, то есть быть истинными или ложными, но могут и не иметь определенного значения. Тогда такие высказывания называют переменными высказываниями. Например, высказывание X>10 является переменным, так как, например, при Х=11 оно истинно, а при Х=8 оно ложно. Условимся переменные высказывания обозначать X, Y, Z, ... или X₁, Х₂, ..., X_n, а формулу алгебры высказываний символически записывать так F(X, Y, Z, ...) или F(X₁, Х₂, ..., X_n,).

Так как каждое из высказываний принимает одно значение из {И, Л}, то и формула алгебры высказываний принимает значение из этого множества.

Чтобы найти значение истинности формулы F от n высказываний, надо составить для нее таблицу истинности и из последнего столбца таблицы узнать значение истинности.

Легко установить, что таблица формулы от n высказываний содержит 2ⁿ строк истинности +1 общая строка, а число столбцов в таблице равно числу высказываний n+число операций в формуле.

П

3

ример. Составить таблицу истинности для формулы

1

2

4

F (X, Y, Z) = ((XY) Z)  Y

X	Y	Z	XY
И	И	И	И	И	Л	И
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	И	И	Л	И
И	Л	Л	Л	Л	И	И
Л	И	Л	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	И

Из последнего столбца таблицы следует, что данная формула при всех возможных значениях истинности высказываний X, Y, Z принимает 6 раз значение истины и 2 раза значение лжи.

§ 3. Основные виды формул алгебры высказываний. Законы формул алгебры высказываний.

Определение 1,2. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется выполнимой (опровержимой), если она хотя бы один раз принимает значение истины (лжи) при каком-либо наборе значений переменных х_i, входящих в нее. Например, формула из § 2, для которой составлена таблица, является и выполнимой и опровержимой, так как из последнего столбца таблицы следует, что она принимает не менее 1 значения истины (6) и не менее одного значения лжи (2).

Определение 3. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется тождественно истинной или тавтологией, если при любых наборах значений переменных x_i, входящих в нее, она принимает значение истины. Обозначается ТИ или FИ.

Определение 4. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется тождественно ложной или противоречием, если при любых наборах значений переменных (x_i), входящих в нее, она принимает значение лжи. Обозначается ТЛ или FЛ.

Чтобы установить вид формулы алгебры высказываний, достаточно составить для нее соответствующую таблицу истинности и по последнему столбцу определить вид данной формулы.

Среди тождественно-истинных формул алгебры высказываний важную роль в математической логике и ее приложениях играют так называемые законы алгебры высказываний. Рассмотрим основные из них.

1. Закон исключения третьего. х , то есть для любого высказывания имеет место одно из двух, либо оно истинно, либо ложно, третье места не имеет.

2. Закон отрицания противоречия. , то есть неверно, что одновременно имеет место некоторое высказывание и его отрицание.

3. Закон двойного отрицания. , то есть отрицать отрицание некоторого высказывания это все равно, что утверждать это высказывание.

4. Закон тождества , то есть всякое высказывание есть логическое следствие самого себя.

5. Закон контрапозиции , то есть импликация двух высказываний эквивалентна обратной импликации их отрицаний. Данный закон позволяет устанавливать равносильность различных видов теорем.

6. Закон силлогизма .

Данный закон является правилом вывода, лежащим в основе большинства методов доказательств предложений.

7. Закон приведения к абсурду .

Данный закон является правилом вывода, лежащим в основе доказательства предложений методом от противного.

Чтобы доказать, что каждый из этих законов является тождественно истиной формулой достаточно составить для нее сответствующую таблицу истинности, а в простых случаях воспользоваться определением соответствующей логической операции.