Предисловие

Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие предназначено студентам специальностей математика, прикладная информатика в гуманитарной области, организация и технология защиты информации, изучающим дисциплину “Математическая логика”.

Пособие состоит из двух глав, разделенных на параграфы.

Глава I посвящена алгебре (логике) высказываний. Она написана подробно, так как именно на этом, начальном этапе у студента формируется система понятий, с которыми ему до настоящего момента не приходилось встречаться и которые составляют фундамент математической логики.

Основная цель главы II, в которой изучается логика предикатов, - выработать у студентов культуру употребления кванторов общности и существования, правильного их понимания и правильного оперирования выражениями (формулами) с кванторами.

В каждый параграф включены основные положения теории, формулы, теоремы и определения. Ряд типовых задач приведены с решениями. Предлагаются задачи для самостоятельного решения. Такое построение пособия представляет читателю возможности для активной самостоятельной работы.

Пользователю этой книги рекомендуется внимательно прочитать теоретические сведения в параграфах, разобрать решенные задачи и только после этого приступить к решению заданий для самостоятельной работы.

Контрольные вопросы, приведенные в конце пособия, позволят читателю проверить качество усвоения теоретического материала, задания контрольных работ соответствуют уровню требований, предъявляемых к умениям и навыкам обучающихся по курсу “Математическая логика”.

Условные обозначения разъясняются в теоретической части параграфов. Для множеств комплексных, действительных, рациональных, целых и натуральных чисел используются стандартные обозначения: C, R, Q, Z и N соответственно.

Введение

Термин “логика” происходит от греческого слова логос, что означает “мысль”, “разум”, “слово”, “понятие”. Логика (или формальная логика) как наука изучает мышление. Но мышление изучается не только логикой, а и различными другими науками: психологией, физиологией, кибернетикой, педагогикой и так далее. Каждая из них изучает какую-то одну из сторон сложного процесса мышления. Логика есть наука о законах и формах правильного мышления. Она изучает формы рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания; устанавливает что из чего следует, ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем?

Математическая логика называемая также символической или теоретической логикой, выросла из логики традиционной. Эта наука, с одной стороны, применила математические методы для изучения общих структур (форм) правильного мышления и тем самым оформилась как раздел математики. С другой стороны математическая логика сделала предметом своего изучения процесс доказательста математических теорем, сами математические теории. Математическая логика явилась, таким образом, инструментом для исследований в области оснований математики.

Изучение курса математической логики способствует воспитанию культуры логического мышления. Широчайшее использование компьютеров во всех сферах нашей жизни требует массового внедрения компьютерной культуры, то есть понимания возможностей компьютера и умения взаимодействовать с ним. Важнейшей составной частью этой культуры является, в первую очередь, способность и умение мыслить алгоритмически, то есть весьма отчетливо и недвусмысленно определять последовательность своих действий при решении той или иной задачи. Мышление в области математических наук всегда было наиболее алгоритмичным в сравнении с мышлением в области прочих наук. Всеобщая компьютеризация наиболее отчетливо проявила именно эту сторону математического мышления. Будущий специалист должен отчетливо осознавать неразрывную связь методов математической логики и современных компьютеров. Эти методы используются как при создании самих компьютеров (алгебра высказываний и булевы функции - математический аппарат для конструирования переключательных схем), так и при создании математического обеспечения к ним (в основе многочисленных языков программирования лежат логика предикатов и теория алгоритмов). Кроме того, синтез логики и компьютеров привел к возникновению баз данных и экспертных систем - важнейших этапов на пути к созданию искусственного интеллекта - машинной модели человеческого разума. Понимать все эти взаимосвязи, чтобы быть квалифицированным специалистом - важная задача современного студента.