§ 5. Равносильность формул алгебры предикатов. Основные равносильности алгебры предикатов.
Определение. Формулы алгебры предикатов F и Н с одноименными предикатными переменными называются равносильными, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом же множестве, они обращаются в равносильные предикаты.
Очевидно, что для алгебры предикатов
место равносильности 1-29 алгебры
высказываний, причем если какая-либо
из этих формул содержит значения истины
или лжи, то в формуле алгебры предикатов
истина заменяется на выражение
,
а ложь на выражение
.
Кроме равносильностей 1-29 в алгебре предикатов имеются новые равносильности относительно операций навешивания кванторов.
Рассмотрим основные из них.
I. (х) (y) F(x,y) (y) (x) F(x,y)
II. (x) (y) F(x,y) (y) (x) F(x,y).
Из формул I и II следует, что одноименные операции навешивания кванторов обладают свойством коммутативности, но разноименные операции навешивания кванторов таким свойством не обладают!
III. (х) (F(x) H(x)) (x) F(x) (x) H(x).
IV. (x) (F(x) H(x)) (x) F(x) (x) H(x).
Из формул III и IV следует, что операции навешивания кванторов и обладают свойством дистрибутивности соответственно относительно конъюнкции и дизъюнкции.
V.
VI.
Очевидно, что данные формулы позволяют выражать один квантор через другой.
VII.
VIII.
Заметим, что часто формулы VII и VIII называют формулами де Моргана алгебры предикатов.
Приведенные выше восемь дополнительных формул алгебры предикатов позволяют сложные предикатные формулы преобразовать в более простые, используя, разумеется, формулы 1-29 алгебры высказываний.
§ 6. Приведенные и предваренные формы предикатных формул.
Определение 1. Приведенной формой предикатной формулы называется такая равносильная ей формула, которая содержит только первые три логические операции, причем знак отрицания относится лишь к предикатам и высказываниям.
Примеры приведенных предикатных формул.
Примеры неприведенных предикатных формул
P(x) Q(x),
Теорема 1. Для любой предикатной формулы существует равносильная ей формула в приведенной форме.
Пример. Привести предикатные формулы к приведенной форме
1)
2)
Определение 2. Предваренной нормальной формой предикатной формулы называется такая равносильная ей приведенная форма, которая содержит кванторы вне себя, а не внутри.
Пример предваренной нормальной формы формулы
(х)Р(x), (х) (y) (P(x,y) Q(x,y))
Теорема 2. Для любой предикатной формулы существует равносильная ей формула в предваренной нормальной форме.
Задачи
Пример 1. Составив таблицу истинности, определите вид формулы алгебры высказываний
Решение.
x |
y |
z |
xz |
|
xz |
(xz)y |
|
AB |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Из последнего столбца таблицы следует, что данная формула принимает хотя бы одно значение истины и хотя бы одно значение лжи при каком-либо наборе значений x, y. z.
Ответ: данная формула является и выполнимой, и опровержимой.
Задания.
1. Определите вид формулы
.
2. Составьте таблицу истинности, докажите, что формула является тавтологией (P(QR)) ((PQ) (PR)).
3. Докажите, что следующие формулы опровержимы, указав какие-нибудь значения входящих в них переменных:
а) ((xy)z) ((xy) (xz))
б) ((xy) ((yz) (zx)))((xy) z)
4. Докажите, что следующие формулы выполнимы
а) (PQ)(QP)
б) (Q
в)
Пример 2. Установить, равносильны ли формулы
и
Решение. Составим таблицы истинности для формул F(x,y) и H(x,y)
x |
y |
xy |
|
|
|
|
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
x |
y |
|
|
|
|
|
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Из последних столбцов составленных таблиц следует, что формулы F(x,y) и H(x,y) при одинаковых наборах значений х и y принимают одинаковые значения истинности.
Ответ: формулы F(x,y) и H(x,y) равносильны.
Пример 3. Используя равносильные
преобразования, докажите, что формула
является тавтологией.
Решение.
Задания.
1. Используя равносильные преобразования, докажите, что формула является тавтологией.
а) P(Q(PQ));
б)
;
2. Упростить формулу
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Пример 4. Используя равносильные
преобразования, привести формулу
к дизъюнктивной нормальной форме (ДН
форме).
Решение.
Задания.
1. Привести равносильными преобразованиями
формулу
к конъюнктивной нормальной форме (КН
форме).
2. Привести формулу
к
КН форме.
3. Привести формулу к ДН форме.
Пример 5. Привести конъюнктивный одночлен XZ от трех переменных в неполной форме к современной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ).
Решение.
Пример 6. Привести одночлен Y к СДНФ относительно трех переменных.
Решение.
Пример 7. Привести формулу
к совершенной конъюнктивной нормальной
форме (СКНФ).
Решение.
Задания.
1. Привести формулу
к СДНФ.
2. Привести формулу
к СКНФ.
3. Привести формулу
а) к СДНФ; б) к СКНФ.
Пример 8. Для следующей теоремы “Если а делится на d и b делится на d, то a-b делится на d” найдите теоремы, то есть верные утверждения, обратные и противоположные ей (если они есть), и теорему, противоположную обратной.
Решение.
1) Сформулируем обратное утверждение и определим его значение истинности
“Если a-b делится на d, то а делится на d и b делится на d”. Данное утверждение ложно, так как, например, если 17-2 делится на 5, то неверно, что 17 делится на 5 и 2 делится на 5. Следовательно, обратное утверждение не является теоремой.
2) Сформулируем противоположное утверждение и определим его значение истинности.
“Если а не делится на d или b не делится на d, то a-b не делится на d”. Данное утверждение ложно, так как равносильно обратному утверждению, следовательно, теоремой не является.
3) Сформулируем утверждение, противоположное обратному. “Если a-b не делится на d, то а не делится на d или b не делится на d”. Данное утверждение истинно в силу равносильности с прямой теоремой, следовательно, является теоремой.
Пример 9. Установить, какие из следующих выражений являются предикатами.
а)
;
б) (Река х впадает в озеро Байкал х пробегает множество названий всевозможных рек).
Решение.
а) Данное выражение не является предикатом, так как не обращается в высказывание при подстановке вместо х элементов из множества R.
б) Выражение является предикатом, так как обращается в высказывание при подстановке вместо х элементов из указанного множества.
Пример 10. Для данного высказывания
“
”
найдите те предикаты, из которых оно
образовалось и укажите множества, над
которым заданы эти предикаты.
Решение. Данное высказывание могло получиться из следующих предикатов:
а)
;
б)
в)
.
Пример 11. Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложные.
а)
б) (x) ((x-3) (x+3) < x2 x R)
Решение.
а) данное высказывание истинно, так как
предикат
является тождественно истинным.
б) данное высказывание истинно, так как
предикат
является
тождественно истинным, а значит и
выполнимым.
Задания. Определить значения истинности высказываний:
а)
;
б)
;
в)
г)
;
д)
.
Контрольные вопросы по курсу "Математическая логика"
1. Дать определение высказывания и привести примеры истинных и ложных высказываний.
2. Дать определение операции отрицания
и пояснить справедливость равносильностей:
12.
13.
.
3. Дать определение операции конъюнкция
и пояснить справедливость равносильностей:
10.
.
14.
.
16.
.
4. Дать определение операции дизъюнкция
и пояснить справедливость равносильностей:
11.
.
15.
.
17.
.
5. Дать определение операции импликация и привести примеры ее приложения.
6. Дать определение операции эквивалентность и привести примеры ее приложения.
7. Дать определение формулы алгебры высказываний и привести примеры формул.
8. Как составить таблицу истинности для данной формулы алгебры высказываний?
9. Дать определение выполнимой (опровержимой) формулы алгебры высказываний.
10. Дать определение ТИ (ТЛ) формулы алгебры высказываний.
11. В чем состоит идея табличного способа установления вида формул алгебры высказываний?
12. Сформулировать и записать символически законы тождества и контрапозиции. Каково их практическое значение?
13. Сформулировать и записать символически законы двойного отрицания и приведения к абсурду. Каково их практическое значение?
14. Сформулировать и записать символически законы исключения третьего, отрицания противоречия и показать их приложения.
15. В чем состоит идея доказательства методом от противного, условия его применимости?
16. Дать определение равносильных формул алгебры высказываний и доказать признак равносильности формул.
17. Основные равносильности формул алгебры высказываний 1-29.
18. Сформулировать правило-алгоритм упрощения электрических схем.
19. Сформулировать правило-алгоритм анализа работы электрических схем.
20. Дать понятие теоремы, перечислить основные виды теорем, привести их примеры.
21. Прямая и противоположные теоремы, их определения, условная запись и равносильность.
22. Обратная и противоположные теоремы, их определение, условная запись и равносильность.
23. Необходимые и достаточные условия. Пример теоремы, выражающей достаточное, но не необходимое условие.
24. Необходимые и достаточные условия. Пример теоремы, выражающей необходимое, но не достаточное условие.
25. Дать определение n-местного предиката и привести пример 2-местного и 3-местного предикатов.
26. Дать определение выполнимого (опровержимого) предиката.
27. Дать определение ТИ (ТЛ) предиката.
28. Дать определение равносильных предикатов и привести пример таких предикатов.
29. Дать определение операции навешивания квантора общности и привести пример.
30. В чем состоит идея доказательства предложений методом полной индукции.
31. Дать определение операции навешивания квантора существования и привести пример.
32. Доказать теорему о свойстве
высказываний
и
.
33. Дать определение связанных и свободных переменных и привести их примеры.
34. Дать определение формулы алгебры предикатов и привести примеры.
35. Дать определение ТИ(ТЛ) формулы алгебры предикатов.
36. Записать равносильности, выражающие свойства коммутативности кванторов.
37. Записать равносильности, выражающие свойства дистрибутивности кванторов.
Задания контрольных работ по курсу “Математическая логика”
Задание 1. Составив таблицы истинности, выясните, равносильны ли следующие формулы алгебры высказываний.
1.
.
2.
.
3.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Задание 2. Используя равносильные преобразования, докажите, что следующие формулы являются тавтологиями алгебры высказываний.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Задание 3. Для следующей теоремы найдите теоремы, то есть верные утверждения, обратные и противоположные ей (если они есть), и теорему, противоположную обратной.
1. Если а=0 и b=0, то a2+b2=0 (a, b - действительные числа).
2. Если а делится на b и b делится на с, то а делится на с (а, b, с - целые числа).
3. Если аb делится на с и а не делится на с, то b делится на с (а, b, с - целые числа).
4. Если а делится на с и b делится на с, то a+b делится на с (а, b, с - целые числа).
5. Если два угла вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу, то они равны между собой.
6. Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
7. Если две хорды принадлежат равным кругам и равны между собой, то они одинаково удалены от центров этих кругов.
8. Если плоскость перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
9. Если плоскость проходит через прямую а, перпендикулярно плоскости , то плоскость и перпендикулярны между собой.
10. Если четырехугольник является параллелограммом, то диагонали в нем пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
11. Если mn - нечетное число, то m и n нечетны (m, n- целые числа).
12. Если a2 + b2 0, то а 0 или b 0.
13. Если три прямые лежат в одной плоскости и две из них перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны.
14. Если прямая а, лежащая вне плоскости , параллельна прямой b, лежащей в плоскости , то прямая а и плоскость параллельны.
15. Если прямая а лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей и параллельна другой из них, то она параллельна и линии их пересечения.
16. Если прямая а пересекает плоскость и перпендикулярна двум непараллельным прямым b и c, принадлежащим этой плоскости, то прямая а перпендикулярна плоскости .
17. Если отрезки параллельны между собой и заключены между параллельными прямыми, то они равны между собой.
18. Если целое число делится на 12, то оно делится и на 3, и на 4.
19. Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
20. Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник или квадрат.
21. Всякий параллелограмм с взаимно перпендикулярными сторонами есть ромб или квадрат.
22. Если четырехугольник вписывается в окружность, то он правильный или суммы его противоположных углов равны.
23. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
24. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
25. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонам, равны, то треугольники подобны.
Задание 4. В высказывании вместо многоточия вставьте одно из выражений: “необходимо, но не достаточно”, “достаточно, но не необходимо”, “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание.
1. а - четное число ... для того, чтобы 3а было четным числом (а - целое число).
2. а делилось на с ... для того, чтобы ab делилось на с (а, b, с - целые числа).
3. а и b делятся на с ... для того, чтобы a+b делилось на с (а, b, с - целые числа).
4. x>1 ... для того, чтобы х2 - 1 > 0.
5. а параллельна b и b параллельна с ... для того, чтобы а параллельна с (а, b. с - прямые).
6. Совпадение центров вписанной и описанной около треугольника окружностей ... для того, чтобы треугольник был правильным.
7. = ... для того, чтобы sin = sin.
8. Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, ..., чтобы все его углы были равны.
9. Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, ... все его стороны были равны.
10. Для того, чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, ... чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен 300.
11. Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны.
12. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, ... чтобы оно делилось на 4.
13. Для того, четырехугольник был ромбом ..., чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.
14. Наличие аттестата зрелости ... для поступления в университет.
15. Для того, чтобы треугольник был тупоугольным ..., чтобы два его угла были острыми.
16. Для того, чтобы прямые были параллельны ..., чтобы они не имели общей точки.
17. Для того,чтобы равенство tg x = 1 было
справедливо ..., чтобы
.
18. Для того, чтобы треугольники были равновеликими ..., чтобы их основания и высоты были попарно равны.
19. Для справедливости формулы logax2=2loga(-x)..., чтобы число х было отрицательным.
20. Для того, чтобы многочлен делился на х-а ..., чтобы число а было корнем этого многочлена.
21. Для того, чтобы произведение ху было равно 0 ..., чтобы число х было равно 0.
22. Число делится на 6 ... для того, чтобы число делилось на 3.
23. Для того, чтобы число делилось на 10 ..., чтобы это число заканчивалось нулем.
24. Для того, чтобы число делилось на 5 ..., чтобы это число заканчивалось нулем.
25. Для того. чтобы число делилось на 3 ..., чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3.
Задание 5. Для следующего высказывания найти предикат (одноместный или многоместный), который обращается в данное высказывание при замене предметных переменных подходящими значениями из соответствующих областей.
1. “3 + 4 = 7”.
2. “Вера и Надежда - сестры”.
3. “Город Саратов находится на берегу Волги”.
4. “
”
5. “А.С. Пушкин - великий русский поэт”.
6. “32 + 42 = 52”.
7. “Река Индигирка впадает в озеро Байкал”.
8. “
”
9. “17 + 10 = 27”
10. “Игорь и Александр - братья”.
11. “Москва - столица России”.
12. “7<41”.
13. “5+9>3”.
14. “Сергей и Алексей - студенты университета”.
15. “Снег - белый”.
16. “
”
17. “Sin2 500+Cos2500=1”
18. “
”
19. “(12+3)2=152”.
20. “28+31=-28+(-31)“.
21. “52+42+32=122”.
22. “(-5)2+(-4)2+(-3)2=(-12)2”.
23. “-51+9,6 -100”
24. “Сегодня - вторник”.
25. “Н.И. Лобачевский - великий математик”.
Задание 6. Прочитайте следующие высказывания и определите, какие из них истинные, а какие ложные, считая, что все переменные пробегают множество действительных чисел.
1. (х)(y) (x + y = 7)
2. (y)(x) (x + y = 7)
3. (x)(y) (x + y = 7)
4. (x)(y) (x + y = 7)
5. ((x)(y) (x + y = 3))(3 = 4)
6. ((x)(y) (x + y = 3))(3 = 4)
7. ((x)(y) (x + y = 3))(3 = 4)
8. ((x)(y) (x + y = 3))(3 = 4)
9. (a)(b) (a - b = 5)
10. (m)(n) (m - n = 4)
11. (х)[(x2>x)
((x>1)(x<0))]
12. (x) [(x2>x) ((x>1)(x<0))]
13. (х)(y)(x-9>y)
14. (y)(х) (x-9>y)
15. (x)(y) (x-9>y)
16. (х) (y) (x-9>y)
17. (х)(x2+2x+1= (x+1)2)
18. (x) (x2+2x+1= (x+1)2)
19. (y)(x)((x+y)2 =x2 +2xy+y2)
20. (х)((x<0)(x=0)(x>0))
21. (x)((x<0)(x=0)(x>0))
22. (х) (y)(x2+y2=36)
23. (x) (y)(x2+y2=36)
24. (x) (y)(x2+y2=36)
25. (x)(y)(x2+y2=36)