Тема 2.7 Типы отношений.

Теперь опишем несколько часто употребляемых типов отношений.

Отношение эквивалентности:

Некоторые элементы множества можно рассматривать как эквивалентные , если любой из этих элементов при некотором рассмотрении можно заменить другим.

Примером отношения эквивалентности могут быть:

Отношение "быть синонимом" на множестве слов русского языка;

Отношение "иметь одинаковый остаток при делении на 3" на множестве целых чисел;

Отношение "быть параллельной" на множестве прямых одной плоскости.

Отношение "быть братом" на множестве людей.

Определение: Отношение эквивалентности – это бинарное отношение на множестве Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ХХ – рефлексивность

2. ХУ  УХ – симметричность

3. ХУ и УZ  ХZ транзитивность

Т.е. отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям: каждый элемент эквивалентен сам себе, не важен порядок, в котором рассматриваются эквивалентные элементы, и если два элементы эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой.

Упражнение: Покажите, что все примеры отношения эквивалентности обладают перечисленными свойствами.

Отношение строгого порядка:

Часто приходится сталкиваться с отношениями, определяющими некоторый порядок расположения элементов множества.

Примеры отношения строгого порядка:

отношения "быть больше", "быть меньше" на множестве действительных чисел;

отношение строгого включения на множестве подмножеств данного множества.

Отношение "быть предком" на множестве людей.

Определение: Отношение строгого порядка – это бинарное отношение на множестве Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Х<Х – антирефлексивность

2. Х<У и У<Х – несимметричность

3. Х<У и У<Z  Х<Z - транзитивность

Отношение нестрогого порядка:

Примеры отношения строгого порядка:

отношение  на множестве действительных чисел;

отношение  на множестве подмножеств данного множества.

Определение: Отношение нестрогого порядка – это бинарное отношение на множестве Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ХХ – рефлексивность

2. ХУ и УХХ=У – антисимметричность

3. ХУ и УZ  ХZ – транзитивность

Тема 2.8 Верхняя и нижняя границы множества. Разбиение множества на классы эквивалентности

Эти понятия введены на любом подмножестве действительных чисел.

Определение: Верхней гранью некоторого множества действительных чисел, называется любое число, ограничивающее это множество сверху, т.е. удовлетворяющее условию:

х х ,  - называется верхней границей множества Х

Определение: Точной верхней гранью множества называется наименьшая из верхних граней множества и обозначается sup(X).

Определение: Нижней гранью некоторого множества действительных чисел, называется число, ограничивающее это множество снизу, т.е. удовлетворяющее условию:

хх,- называется верхней границей множества Х.

Определение:Точной нижней гранью, называется наибольшая из нижних граней множества и обозначается inf(X).

Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств.

Пример: Система курсов данного факультета, система групп данного курса.

Пример: Если N – множество натуральных чисел, А – множество четных чисел, В – множество нечетных чисел, то {А,В} – будет разбиением множества N. Это же множество может быть разбито по остатку от деления на 3.

Чтобы дать формальное определение разбиения множества рассмотрим некоторое множества М и систему множеств ММ = {1…n}

Определение: Система ММ называется разбиением множества М, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. любое множество из ММ является подмножеством М

2. Любые два множества из ММ являются непересекающимися

3. Объединение всех множеств из ММ дает М.

Это понятие тесно связанно с отношением эквивалентности. Если рассматривать М как множество, на котором введено отношение эквивалентности, то подмножество элементов, эквивалентных некоторому элементу из М называется классом эквивалентности. Если рассматривать на множестве студентов отношение «быть в одной группе», то группа, в которой учится студент Иванов, будет классом эквивалентности, эквивалентным студенту Иванову.

Из свойства транзитивности отношения эквивалентности следует, что все студенты, принадлежащие одному классу эквивалентности, эквивалентны между собой и всякий элемент из М может находиться только в одном классе. Но в таком случае полная система классов эквивалентности является разбиением множества. Т.о. каждому отношения эквивалентности на множестве М соответствует некоторое разбиение множества М на классы. Эти понятия называют сопряженными.