3. Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

Как мы уже видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств

4. Дополнение множества

Дополнением множества Х называется разность I и Х.

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов

2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.

1. Из формулы 2 вытекает еще одно важное свойство

Тема 2.4 Законы и тождества алгебры множеств

X ∩ Y = Y ∩ X - коммутативности пересечения

(X ∩ Y) ∩Z =X ∩ (Y ∩ Z)=X ∩ Y∩Z – ассоциативности пересечения

X U Y= Y U Y- коммутативности объединения

(X U Y) U Z =X U (Y U Z)=X U Y U Z – ассоциативности объединения

X U  = X

X ∩  = 

X ∩ I = Х

XUI = I

Транзитивности

Если вы внимательно присмотритесь, то заметите аналогии между законами логики высказываний и алгебры множеств. Это не случайно. Эти два раздела математики тесно связаны и на уровне понимания природы объектов, и на уровне формализации.

Дело в том, что термин алгебрав своем роде имя нарицательное. Под ним понимается раздел математики, изучающий алгебраические операции, а природа объектов, к которым применяются эти операции, не важна. Говоря об алгебре логики или об алгебре множеств, мы более всего уделяли внимание операциям, определенным над допустимыми в данной теории объектами, свойствам этих операций. Еще одним хорошо известным вам примером алгебры, являетсяалгебра чисел, к которой все выписанные законы также применимы. Проводя аналогии между этими алгебрами, мы можем сказать

	Алгебра чисел	Алгебра логики	Алгебра множеств
Объекты	Числа	Высказывания	Множества
Операция +	Сложение	Дизъюнкция	Объединения
Операция *	Умножение	Конъюнкция	Пересечение
Нулевой элемент	0	Ложь	Пустое множество
Единичный элемент	1	Истина	Универсальное множество

И хотя каждая из рассматриваемых нами теорий имеет свои специфические законы, не освещенные или просто неинтересные в рамках другой теории, можно говорить, что утверждения алгебры множеств можно рассматривать с точки зрения алгебры логики и наоборот.

Тема 2.5. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств

Определение: упорядоченный набор, конечная последовательность каких-либо объектов, внешне связанных определенным положением, которое они занимают в данной совокупности объектов, называется упорядоченным множеством или кортежем.

Объекты, входящие в кортеж называются компонентами.

Число компонент кортежа называется его длиной. В отличие от множества в кортеже могут быть и одинаковые компоненты, и порядок расположения элементов важен.

Например: можно как кортеж рассматривать буквы в слове, слова в фразе, абзацы в тексте.

Определение: Декартовым произведением двух не пустых множеств Х и У называется множество ХхУ, состоящее из всех упорядоченных пар,

ХхУ = {(x,y) / x  X; y  Y)

Если одно из множеств пустое, то и ХхУ пустое.

Например:X = {1, 2}

Y = {1, 2, 4}

XxY = {(1,1); (1,2);(1,4);(2,1);(2,2);(2,4)}

YxX = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(4,1);(4,2)}

Обратим внимание, что речь идет об упорядоченных парах, т.е. в отличии от множеств (1,2)(2,1)

Примером декартова произведения является система координат : пара чисел, обозначающие широту и долготу. Частный случай декартова произведения множества самого на себя называется степенью множества. Так, привычная вам система координат на плоскости есть не что иное, как декартово произведение множества вещественных чисел само на себя, или квадрат множества вещественных чисел.

RxR=R

и любая точка на плоскости задается (х, у) .

Из приведенного примера видно, что

ХхУУхХ