Раздел 4. Логика предикатов Тема 4.1 Основные понятия и определения

Логика предикатов или исчисление предикатов – это раздел математической логики, исследующий операции над высказываниями, расчлененными на субъект и предикат.

Это расширение понятий и логических средств по сравнению с логикой высказываний или Булевой алгеброй. Логические операции с высказываниями, не разделенными на субъект и предикат – это простейший вид логических операций. «В исчислении предикатов делается дальнейший шаг анализа и разрешается рассматривать объектно–предикатную структуру простых предложений и пользоваться операциями композиции, зависящими от этой структуры», - пишет Клини.

Слово предикат (от латинского praedicatum – сказуемое), то что высказывается (утверждается или отрицается) в суждении о субъекте. Предикат выражает наличие или отсутствие того или иного признака у субъекта.

Например: в суждении «Советская ракета достигла Луны» объектом суждения служит «Советская ракета», а предикат – «достигла Луны».

В логике предикатов под предикатом понимается некоторое свойство или отношение.

Примеры:

одноместного предиката (свойства):

1. Р(х) - «Быть простым числом». Подставив значение х, мы получим высказывание «х – простое число».

2. Р(х) – «Быть животным», тогда подставив значение х = Жучка, получим высказывание «Жучка – животное».

двуместного предиката (отношения)

3. Р(х,у) – «х и у – муж и жена».

4. Р(х,у) – «х < у ».

В логике предикатов, как и в логике высказываний, высказывания представляют собой или «Истину» или «Ложь». Разница в том, что в логике предикатов истинностное значение ставится в соответствие определенному предмету или группе предметов, тогда как в логике высказываний они относились к высказыванию. Так в примере 1 для х = 7 Р(х) – Истинно, а для х = 8, Р(х) – Ложно.

С точки зрения математики Предикат очень удобно рассматривать как функцию от некоторого числа переменных, значением которой будут логические величины.

Определение: n – местным предикатом называется логическая функция, значениями которой являются высказывания об упорядоченных множествах из n объектов, представляющих значения аргументов.

Чтобы задать n – местный предикат Р(х₁…х_N) следует указать множества D_i i=1,N - области изменения предметных переменных Х. Предикат определяется заданием подмножества М в декартовом произведении D_i. При этом Р(х₁…х_N) понимают как высказывание "упорядоченный набор (х₁…х_N) принадлежит М". Понятие предиката может еще интерпретироваться так: "Из посылок х₁…х_N, следует заключение В".

Определение: Квантор – это логическая операция, которая по предикату Р(х) строит высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х).

В математической логике наиболее употребительный квантор всеобщности  и квантор существования . Высказывание х Р(х) означает, что область истинности предиката совпадает с областью значения переменной х. Высказывание х Р(х) означает, что область истинности предиката не пуста.

Примеры

х А(х) – т.е. существует число х, такое что х – простое число.

х у G(х,у) - для любого х и для любого у выполняется условие G(х,у)

Определение: Формула

1. Любая переменная – это формула.

2. Если А и В – формулы, то А, (АВ), (АВ), (АВ),х А, х А - формулы

Пример:

(А(В&А) – не формула (не хватает одной закрывающей скобки).

(А(В&А)) – формула

Определение:. Вхождения переменных, которые в процессе построения формулы не связываются кванторами, называются свободными, иначе, говорят что вхождения переменной х – связанные.

Обратите внимание, что одна и та же переменная может быть и свободной и связанной в одной и той же формуле.

Пример: х у (Р(х,у))  Q(у,z)

В данном примере переменная у имеет как свободное, так и связанное вхождение в формулу.

Определение: Формула называется замкнутой, если никакая предметная переменная не является в ней свободной.

Приведем примеры более сложных предикатов:

Пример1: «Всякий человек смертен» - х (Человек(х)  Смертен(х))

Пример2: «Всякий студент изучает какую-нибудь науку» - х (Студент(х)  у Наука(у)&Изучает(х,у))

Пример3: «Квадрат любого четного числа больше 1» - х (Четное число(х)  >(Квадрат(х),1))