Тема 4.5. Теоремы Геделя.

Любое формальное математическое доказательство непротиворечивости использует средства той или иной математической теории, а потому лишь сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой теории. При этом говорят, что первая теория непротиворечива относительно второй теории.

Эти фундаментальные понятия рассматриваются в теореме Геделя о полноте классического исчисления предикатов. Всякая предикатная формула, истинная во всех моделях, выводима (по всем формальным правилам классического исчисления предикатов). Т.е. теорема говорит о том, что множество формально выводимых формул этого исчисления в каком-то смысле максимально – оно содержит все чисто логические законы теоретико-множественной математики.

И в тоже время, Гедель доказывает пожалуй самую известную теорему современности, обсуждаемую и комментируемую учеными в разных областях знаний. Теорема о неполноте: в любой непротиворечивой, формальной системе, содержащей минимум математики («+», «*», кванторы и обычные правила обращения с ними) найдется формально неразрешимое суждение т.е. такая замкнутая формула А, что ни А, ни А не являются выводимыми в системе. Эта теорема знаменовала неудачу первоначального понимания программы, предусматривающей полную формализацию всей существующей математики, и обоснования полученной формальной системы путем финитного доказательства ее непротиворечивости. Теорема показала, что даже если финитными считаются все средства формализованной арифметики, этого не хватит для доказательства непротиворечивости арифметики.

Исторический аспект важности результатов, полученных Геделем, состоит в том, что к этому моменту существовали обширные системы аксиом, что все методы доказательства, существующие в математике, были сведены к небольшому числу аксиом и правил вывода. Поэтому разумно было предположить, что этих аксиом и правил вывода будет достаточно, чтобы получить ответ на любой математический вопрос, который вообще может быть поставлен в этих системах. В теореме было показано, что это не так, что в системах имеются проблемы – и даже очень простые, относящиеся к теории целых чисел. И это обстоятельство не связано ни с какой специфической природой систем, напротив, оно имеет место для широкого класса формальных систем, к которым в частности, принадлежат все системы, полученные из базовых, путем присоединения к ним конечного числа аксиом, если это присоединение не приводит к тому, что доказуемым становится какое-либо ложное предложение.

Для доказательства своей теоремы Гедель строит формальную систему, родственную формальной арифметике. Показывает рекурсивность функций сложения, умножения и возведения в степень. Отталкиваясь от этих утверждений, Гедель вводит способ сведения любой формулы к формальной арифметике, и показывает простые алгоритмы определения истинности или ложности формулы (используется классическое определение формулы). А потом строит высказывание, которое не является ни доказуемым, ни недоказуемым в рамках этой формальной системы. Тем самым показывается неполнота непротиворечивой формальной системы. Наличие в системе содержательно истинной, но формально недоказуемой формулы говорит о неполноте системы, в данном случае области арифметики натуральных чисел. Следовательно, если арифметика непротиворечива, то она неполна. А если она противоречива, то понятие теоремы в ней лишается смысла, т.к. в противоречивой системе доказуема любая ее формула. Из всего сказанного следует вывод: невозможно доказывать непротиворечивость арифметики, средствами, формализуемыми в самой арифметике. Это касается любой формальной теории, содержащей математику.

Открытия Геделя положили начало исследованиям о некоторой внутренней ограниченности регулярных процедур дедуктивного и математического характера и о невозможности представления процесса расширения знания в виде завершенной формальной системы.