Раздел 1. Булева алгебра Тема 1.1. Понятие системы исчисления по любому основанию, двоичная система.
Под системой счислениябудем понимать правила записи натуральных чисел. Для записи чисел мы пользуемсядесятичной позиционной системой. В каждой системе счисления некоторые символы служат для обозначения некоторых чисел, эти знаки называютсяузловыми. В нашей системе счисления узловыми являются цифры от 0 до 9. В древнеримской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000:I,V, Х,L,C,D,M.
Если значение числового знака зависит от его расположения в записи числа, то система называется позиционной. Из истории математики известны системы счисления основанием, которых были числа, отличные от десяти. Например, у древних вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60. У мойри (коренные жители Новой Зеландии) была принята 11-ричная система счисления. С применением некоторых этих систем счисления мы встречаемся и по сей день. Например, календарь – 12-ричная система счисления. Сутки делятся на 24 часа.
Введем понятие n-ричной системы счисления. Это система счисления, в которой любое число представимо в виде:
и для всех чисел от 0 до n-1 ставится в соответствие n различных знаков – цифр.
В ЭВМ применяется двоичная система счисления ее цифры {0,1}. Это связано с особенностями хранения данных в ЭВМ. Для кодирования часто применяется 16-ричная система счисления, ее цифры 0-9, A,B,C,D,E,F.
Способ перекодирования рассмотрим на примере двоичной системы.
2710= 110112
Обратный переход:
1*16+1*8+0*4+1*2+1=16+8+2+1=2710
В дальнейшем, рассматривая двоичную систему счисления, мы будем пользоваться несколькими обозначениями, в зависимости от удобства в контексте. Возможные значения {0; 1}, {И, Л}, {TRUE, FALSE}, {Да, Нет}, {«Включено», «Выключено»} говоря об истинном или ложном значении выражения.
Тема 1.2. Понятие высказывания, простые и составные высказывания
Каждая математическая дисциплина имеет свою собственную область объектов, которую она изучает. Например, геометрия изучает геометрические фигуры, математический анализ изучает функции, арифметика – числа. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры логики или Булевой алгебры являются высказывания.
Мы будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся содержанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истинно, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В традиционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинно или ложно, и ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.
Например: 20 > 5
Москва – столица России
Берлин – один из крупнейших городов Франции
Сколько Вам лет? – это не высказывание.
Любое высказывание будем рассматривать с точки зрения их истинности или ложности (их логического значения, пренебрегая их житейским смыслом, всеми нюансами мысли, характерными для обычной устно или письменной речи).
В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0 , то высказывание ложно и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок () – это технические знаки.
Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквой латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.
Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, является его истинностное значение. Никакого другого, конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.
Заметим, что выражения типа «В том году был хороший урожай хлебов» и «Целое число nявляется простым» не могут считаться высказываниями, поскольку о них нельзя сказать истинны они или ложны. Дело в том, что такие выражения включают в свой состав переменную («том» и «n») и лишь в зависимости от значения этой переменной они превратятся в истинное или ложное утверждение, и только после этого станут высказываниями. Такие выражения называютсяпропозициональными переменными.
Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель, впервые разработавший теорию дедукции. Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой и структурой, независимо от конкретного содержания. Вторым витком развития логики стали работы ирландского математика Джорджа Буля (1815 – 1864), работавшего в университете города Корк, отца писательницы Этель Лилиан Войнич. С именем Буля связана революция в логике, она приобрела письменность, появился новый тип алгебры. Другие имена, связанные с этой теорией: Раймундо Луллий (испанский философ, монах–отшельник 12–13 вв), Б. Спиноза, Н. Винер.