Тема 2.6 Понятия соответствия, отображения, отношения, функции.

Рассмотрим два множества А и В. Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг другу, образуя пары (а, b). Если задан способ такого сопоставления, то говорят что между множествами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств А и В.

Определение: Соответствием между множествами А и В называется любое подмножество R= АхВ - декартова произведения множеств.

Например: Рассмотрим два множества:

А={Гагарин, Дунаевский, Носов, Рахманинов}

В={1900,1901,….2000} - годы 20 века.

Установим соответствие между этими двумя множествами, например, человек – год рождения.

Г = {(Гагарин, 1934);(Дунаевский, 1900);(Носов,1908)}

(Рахманинов, 1973) – естественно не вошел в множество

Другим примером соответствия, установленного между этими множествами, может быть такое: человек – год смерти.

Г’ = {(Гагарин, 1968);(Дунаевский,1955);(Носов,1986),(Рахманинов,1943)}

Определение: Множество D_R, такое что,

D_R, = {a  A :  b  B (a,b)  R}

называется областью определения соответствия R.

Определение: Множество D_R, такое что,

B_R, = { b  B: (a,b)  R}

называется областью значений соответствия R, или образом.

Таким образом, соответствие можно задать ООС, ОЗС и законом, определяющим соответствие.

Определение: Если каждому элементу множества Х ставится в соответствие один или более элемент множества У, то говорят что задано отображение Х на У.

В ранее приведенном примере соответствие человек - год рождения – не является отображением (т.к. не каждому элементу множества Х ставится в соответствие элемент из множества У) , а соответствие (человек, год смерти) – является отображением.

Определение: Функцией называется однозначное отображение Х на У. Т.е. такое отображение f, что если

(х₁,y₁)fи (х₂,y₂)fиз х₁= х₂следуетy₁=y₂

При этом множества Х и У могут совпадать.

Определение: Если область определения отображения и область значения отображения совпадают, то отображение называется отношением.

Отметим некоторые возможные свойства отношений:

1. Рефлексивность. хГх – истинно

2. Антирефлексивность. хГх – ложно

3. Симметричность. хГу  уГх

4. Антисимметричность. хГу и уГх  у=х

5. Несимметричность. хГу истинно, то уГх - ложно

6. Транзитивность. хГу и уГz  хГz

Пример: Алфавит русского языка, как и любого другого языка – это упорядоченное множество букв. Назовем отношение между элементами этого множества отношением предшествования и обозначим его значком <.

Мы знаем, что а<б, б<в. И т.д.

Укажем свойства этого отношения:

1. f<f – ложно, т.к. ни одна из букв не предшествует сама себе. Т.е. отношение предшествования антирефлексивно.

2. Если f<s – истинно, то s<f – ложно. Т.е. отношение предшествования несимметрично.

3. Если f<s и s<t, то f<t Отношение транзитивно

Т.о. отношение предшествования, которое мы ввели на множестве букв русского языка антирефлексивно, несимметрично и транзитивно.

Пример: Можно ввести на множестве из предыдущего примера отношение "непосредственно предшествует", основываясь на уже существующем и исследованном нами отношении "предшествует".

Будем говорить, что х непосредственно предшествует у, если x<y и  z: x<z и z<y.

Упражнение: Определите свойства этого отношения самостоятельно.