Вопрос 23!

Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида  , где   (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа,  -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа  -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z= -а, получим ряд   (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<| |; а если этот ряд расходится при z= 0, то он расходится при всяком z, для которого |z|<| |.

а) Пусть  ={z: | z|<| |}- круг на комплексной плоскости с центром в точке Орадиуса | |, и пусть z – произвольная точка круга  , т.е. |z|<| |, поэтому q=|z/ |<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке  , то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности { },т.е.  M. Используя неравенство (3) и (4), получаем | |=| |*| z/ M , где  . (5) Так как ряд  , где , сходится, то по признаку сравнения сходится ряд  ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга  .

б) Пусть ряд (2) расходится в точке  . Тогда он должен расходиться в любой точке   такой, что | |<| |, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке  .

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R( -число или  ) такое, что: а) если   и  , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;

б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;

в) если  , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем  , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный  , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R= , а если существует конечный и бесконечный  , то R= .

0,  .

Вопрос 24!

Если в некоторой окрестности точки х=а функция f(x) имеет конечные производные f'(x), f"(x), ..., f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), то для каждого значения х из этой окрестности справедлива формула Тейлора:

где а<ξ<х или x<ξ

Если последний член в формуле Тейлора (остаточный член) стремится к нулю при n→∞, то в данной окрестности точки х=а функция f(x) может быть представлена рядом Тейлора (при а=0 он называется рядом Маклорена):

В частности, такое представление функции f(x) справедливо, если в рассматриваемой окрестности точки х=а выполняется условие

при любом натуральном n (М не зависит от n). Это есть достаточное условие для того, чтобы остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю.

Степенные ряды дают возможность заменить данную функцию приближенно равной ей суммой некоторого числа первых членов ряда, т. е. многочленом; для приложений важны ряды, сходящиеся быстро, т. е. такие, в которых сумма небольшого числа первых членов дает приближение с желаемой точностью. Ниже приводятся некоторые из примечательных степенных рядов.