Вопрос 22! Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность   определенная на множестве  .

Формальное выражение вида   называется функциональным рядом.

Множество   - область определения ряда. Сумма   первых членов ряда   называется  -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что   является функциональной последовательностью, определенной на  .

Пусть точка 

Определение. Функциональный ряд   сходится в точке  , если числовой ряд   сходится. Множество   точек  , где  сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд   сходится на множестве  , если последовательность   его частичных сумм сходится на  .

Если функциональный ряд сходится на множестве  , то его сумма есть функция  , определенная на  . Очевидно,   есть предел функциональной последовательности  .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве   не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

Абсолютная сходимость

Определение. Функциональный ряд   сходится абсолютно на множестве  , если функциональный ряд   сходится на множестве   (  может быть одной точкой)

Утверждение. Если   сходится абсолютно на множестве  , то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд   сходится абсолютно на множестве  ,   ряд   сходится на  ,     числовой ряд  сходится   числовой ряд   сходится абсолютно   числовой ряд   сходится и в обчном смысле. Так как   - произвольная точка из     числовой ряд   сходится в обчном смысле на множестве  .

Из утверждения следует, что  , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

Равномерная сходимость

Определение. Последовательность   сходится равномерно к функции   на множестве  , если  . (  не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости   на множестве   следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на  . Обратное неверно.

Определение. Последоваельность   сходится равномерно на  , если существует  , такая что   сходится равномерно к   на  . Обозначается   на  .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).  Пусть дан функциональный ряд на множестве  . Пусть существует сходящийся числовой ряд   такой, что  . Тогда функциональный ряд   сходится абсолютно и равномерно на множестве  . В этом случае числовой ряд   называется мажорирующим рядом для функционального ряда  .

Доказательство.

1) Докажем, что функциональный ряд   сходится абсолютно на множестве  .

Имеем:       числовой ряд   сходится по признаку сравнения так как ряд из   сходится   сходится на   сходится абсолютно на  . Кроме того ряд   сходится к некоторой функции   на множестве  .

2) Докажем, что функциональный ряд   сходится равномерно к   на множестве  . Обозначим:  .   рассмотрим 

Числовой ряд   сходится   сходится равномерно на  .