§4. Формула Ньютона-Лейбница.
Имеем:
,
гдеΦ(х) – первообразная
для функции ƒ(х).
Пусть F(x) - другая первообразная этой функции, тогда
Φ(х) =F(x) +C,
F(x) +C,
предположим, в этом равенстве x=a,
получим:
F(a) + C; но 
0,
тогда F(a) + C = 0, т.е. С = –F(a);
подставим в исходное значение
F(x)
–F(a),
предположим х=b, тогда
F(b) –F(a),
заменимtна х
F(b) – F(a) = F(x) |
;
Пример:
arctg(x) |
= arctg1 – arctg(-1) = 2arctg1 = 2π/4 = π/2.
П
ример2:
Дано: ex, 0≤x≤1,
ƒ(х) = 3-x, 1<x≤3,
построим график функции: y
2.7
1
1 3 х
=e–1 + 2 =e+1.
Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], а значит существует
F(b) –F(a),
гдеF(x)
первообразная для функции ƒ(х) и пусть
х = φ(t), гдеt
[α,β].
Теорема:Если:
1) φ(α) = а, φ(β) = b.
2) функции φ(t) и φ'(t) непрерывны на отрезке [α,β]
3) функция ƒ(φ(t)) непрерывна на отрезке [α,β],
то
.
Доказательство.
В параграфе о замене переменной в неопределенном интеграле было доказано, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции ƒ(φ(t))· φ'(t), поэтому
= F (φ(t)) 
= F(φ(β)) –
F(φ(α)) = F(b)
– F(a) = 
,
что и требовалось доказать.
Пример: Вычислить интеграл:
= |x=sin(t),
=cos(t),dx=cos(t)dt,
при х=0,t=0; при х=1,t= π/2 | =
=
=
=
=
+0 – 0 =
.
Пример2:
= π;
= | tg(x) = t, x = arctg(t) ; dx =
;
sin2x
= 
; cos2x
=
;
при
х=0 , t= 0; при х = π,t= 0; | =
= 0, - это не верно, так как в точке х = π/2,
тангенс терпит разрыв.
Интегрирование по частям.
∫ U dV = UV – ∫V dU;
U
dV = UV 
– 
V
dU;
Пример:
| U=x; dU=dx; dV = sin(x) dx; V= -cos(x) | = –x cos(x)
+ +
sin(x) 
=1.
Несобственные интегралы.
Несобственными интегралами называют:
интегралы с бесконечно верхними или нижними пределами интегрирования.
Интегралы от неограниченных функций на отрезке [a,b] или интегралы от разрывных функций на отрезке [a,b].
Рассмотрим 1):
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на [a,
+∞). Если существует
,
то он называетсянесобственным
интегралом с бесконечным верхним
пределом и обозначается
.
yy=ƒ(х)
0 a x
Итак, по определению:
=
,
если этот предел существует, то интеграл
называется сходящимся,в противном
случаерасходящимся.
Аналогично
=
,
если этот предел существует, то интеграл
называется сходящимся, в противном
случае расходящимся.
Интеграл
вида:
= |по свойству 5 определенного интеграла|
=
+
+
=
+
- интеграл сходится.
Пример:
Вычислить
;
Тогда,
ƒ(х) =
;
y
1
0
1
x
= 
+ 
= 
+ 
= 
+
+
= 
(0
– arctg(a)) + 
(arctg(b)
– 0) = -(-
)
+ 
= 
+
= π.
Рассмотрим 2): несобственные интегралы от разрывных функций.
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,c).
Е
сли
существует
,
тоy
о
н
называетсянесобственным интегралом
от неограниченной функции в точке с и
о
бозначается
.
a c-ε c x
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке (c,b].
y 
= 
.
c c+δ b x
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], кроме точкиc,a<c<b, тогда
=
+
=
+
.
yЕсли оба эти предела существуют,
то несобственный
интеграл называется сходящимся, а если один из
пределов не существует, торасходящимся.
a c b x
Пример:
;
х = 0
- точка разрыва; ƒ(х) =
;
y
0-ε 0+δ
-1 0 1 x
=
+
=
+
=
+
=
=
+
= ∞ + ∞ = ∞, значит интеграл расходится.