Шпоры по интегралам

§1. Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:

F'(x)= ƒ(x).

Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);

Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:

F1(x) – F2(x) = C;

Замечание: из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.

Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

∫ ƒ(x) dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x),

ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;

ƒ(x)dx – называется подынтегральным выражением;

Свойства неопределенного интеграла:

1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);

2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;

3. ∫d F(x) = F(x) + C;

4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.

5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.

6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;

∫ƒ(u)du = F(u) + C;

§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:

∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой.

Интегрирование по частям.

Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

Проинтегрируем это равенство:

∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.

Замечание: классы функций интегрируем по частям.

I класс – это интегралы вида:

∫ Pn(x) · e^ax dx;

∫ Pn(x) · sin(a·x) dx;

∫ Pn(x) · cos(a·x)dx , где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае U = Pn(x);

II класс – это интегралы вида:

1.∫ Pn(x) · ln(a·x) dx;

2.∫ Pn(x) · arcsin(x) dx;

3.∫ Pn(x) · arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);

Комплексные числа.

Определение1: числа вида z = x + iy , где x,y – действительные числа, i = (-1)^(1/2) называются комплексными. Очевидно, что i² = -1;

Пример: z1 = 2 + 3i ; z2 = -(3) ^(1/2) + 2i ;

Утверждение:

1. Комплексное число z = 0, если x = 0, y = 0.

2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , считаются равными, т.е. z1 = z2 , если x1= x2 и y1= y2.

x – действительная часть комплексного числа;

iy – мнимая часть комплексного числа;

i = (-1)^(1/2) - мнимая единица.

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа.

Действия над комплексными числами.

1. Сложение.

Дано:

z1 = x1 + iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1+ x2) + i·( y1+ y2);

2.1.Умножение.

Дано:

z1 = x1 + iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) = x1· x2 + iy1·x2 + iy2·x1 + i² y1·y2 = (x1· x2 – y1·y2) +

+ i·( x1·y2 + x2·y1).

2.2. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:

z1 = ρ1·(cos(φ1) + i·sin(φ1));

z2 = ρ2·(cos(φ2) + i·sin(φ2)); тогда

z1·z2 = ρ1·ρ2 · (cos(φ1) + i·sin(φ1)) · (cos(φ2) + i·sin(φ2)) = ρ1·ρ2 · [(cosφ1·cosφ2 –

– sinφ1 · sinφ2 ) + i· (cosφ1·sinφ2 + sinφ1·cosφ2)] = ρ1·ρ2 · (cos(φ1+φ2) + i· sin(φ1+φ2))

Вывод: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются (пример см.выше).

3.Деление.

Дано:

z1 = x1 + iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 = x1 + iy1 = (x1 + iy1)(x2 – iy2) = (x1· x2 + y1·y2) + i·( x2·y1– x1·y2) = x1·x2 +y1·y2 +

z2 x2 + iy2 x2² – iy2² x2² + y2² x2² + y2²

+ i·( x2·y1– x1·y2) ;

x2² + y2²

3.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

z1 = ρ1·(cos(φ1) + i·sin(φ1)) = ρ1 · (cos(φ1) + i·sin(φ1)) ·(cos(φ2) – i·sin(φ2)) =

z2 ρ2·(cos(φ2) + i·sin(φ2)) ρ2 cos²(φ2) + sin²(φ2)

= ρ1 · [cos(φ2) ·cos(φ1) + sin(φ2) ·sin(φ1)) + i·( sin(φ1) ·cos(φ2) – cos(φ1) ·sin(φ2)] =

ρ2

= ρ1 · (cos(φ1–φ2) + i· sin(φ1–φ2)).

ρ2

вывод: при делении комплексного числа модули делятся, а аргументы вычитаются.

4. Возведение в степень комплексного числа.

zⁿ = z · z · z ·… · z ;

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)), на основании умножения комплексных чисел в тригонометрической форме имеем:

zⁿ = ρ· ρ· ρ… ρ · (cos(φ + φ + φ …+ φ) + i·sin(φ + φ + φ …+ φ))

zⁿ = ρⁿ·(cos(φ) + i·sin(φ)).

5. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ω, если выполняется соотношение zⁿ = ω и обозначается z = (ω ) ^(1/n) ;

Пусть данное ω = r·(cosθ + i · sinθ) , искомое k число

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)) , тогда соотношение zⁿ = ω перепишется в виде:

ρⁿ·(cos(φ) + i·sin(φ)) = r·(cosθ + i · sinθ);

ρⁿ = r ;

ρ = (r)^(1/n) ; nφ = θ + 2πk;

φ= (θ +2Pik)\n; z =(r*(cos θ+isin θ))^(1/n)

Функция от комплексной переменной.

Определение: комплексная переменная ω называется функцией от комплексной переменной z из комплексной области, если каждому значению z по некоторому правилу и закону ставится в соответствии комплексная переменная ω и обозначается ω = ƒ(z).

Рассмотрим одну функцию – показательную

ω = e^z = e^x+iy ;

значение этой функции вычисляется следующим образом:

e^x+iy = e^x ·(cos(y) + i·sin(y));

e^iy = cos(y) + i· sin(y) - формула Эйлера.

Заменим в этой функции y на (-y)

e^iy = cos(y) + i· sin(y) (1)

e^-iy = cos(-y) + i· sin(-y) (2)

вычислим из 1-2

e^iy - e^-iy = 2 i · sin(y)

sin(y) = e^iy - e^-iy ;

2i

теперь сложим, получим

cos(y) = e^iy + e^-iy ;

2

Показательная форма комплексного числа.

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ));

cos(φ) + i·sin(φ) = | по формуле Эйлера| = eⁱ·^φ, то

z = ρ· eⁱ·^φ;

§3. Разложение многочлена на множители.

Определение: функция ƒ(x) = A0 xⁿ + A1 x^n-1 + … + An-1 x + An называется целой рациональной функцией от x или многочленом n-ой степени, или полиномом n-ой степени. Уравнение ƒ(x) = 0 или A0 xⁿ + A1 x^n-1 + … + An-1 x + An = 0 называется алгебраическим.

Теорма1. Остаток от деления многочлена ƒ(x) на (x-a) равен ƒ(a).

Следствие: если а является корнем уравнения ƒ(х) = 0, то ƒ(а) = 0, т.е. R = ƒ(а)=0;

Основная теорема алгебры:

Всякая целая рациональная функция (многочлен) имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный (без доказательств).

Теорма2. Всякая целая рациональная функция может быть разложена в произведении n двучленов вида (х-а) и множества A0.

Теорема3: Если комплексное число a+bi является корнем многочлена

ƒ(x)=A0 xⁿ + A1 x^n-1 + … + An-1 x + An , то сопряженное число a-biтакже является корнем многочлена.

Вывод: всякий многочлен может быть представлен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней.

Интегрирование рациональных дробей.

Дробь вида: Pn(x) = A0 xⁿ + A1 x^n-1 + … + An-1 x + An называется рациональной

Qm(x) B0 xⁿ + B1 x^n-1 + … + Bn-1 x + Bn

дробью или дробно-рациональной функцией.

Если степень числителя меньше степени знаменателя (n<m), то дробь называется правильной, в противном случае (n≥m) называется не правильной.

В случае не правильной дроби, ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.

Pn(x) = Mk(x) + Tk(x)

Qm(x) Qm(x)

Теорема1: Если в правильной рациональной дроби знаменатель разложен в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней:

Правило интегрирования рациональных дробей:

1. Если дробь неправильная, то надо выделить целую часть

2. Знаменатель дроби разложить на множители, то есть представить в виде двучленов первой степени и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней. И разложить правильную дробь на элементарные дроби по указанной выше схеме.

3 Интеграл от рациональной дроби взять как сумму интегралов от целой части и от элементарных дробей.

Интегрирование иррациональных функций.

I. Интеграл вида R(X,((ax+b)/(cx+d))^(1/n)), где R(X,((ax+b)/(cx+d))^(1/n)) - рациональная функция относительно x и ((ax+b)/(cx+d))^(1/n) , подстановкой (ax+b)/(cx+d)=tⁿ сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

II. Интегралы от дифференцированных биномов (биномиальный дифференциал).

Определение : x^m(a + bxⁿ)^P dx – называется дифференциальным биномом.

Академик Чебышев доказал, что ∫ x^m(a + bxⁿ)^P dx выражается через элементарные функции в трех случаях:

1) если P-целое, то следует сделать подстановку

(x)^λ=t, где λ – общий знаменатель чисел m и n.

2)P – не целое, (m+1)/n - целое, тогда вводим a+bxⁿ=t^s, где s – знаменатель P.

3) P+(m+1)/n- целое, тогда замена такая:

ax^–n + b = t^S , где s – знаменатель P.

В остальных случаях интеграл не берется.

III. Тригонометрические подстановки.

R(X,(a²-x²)^(1/2) ))

а) Интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx

подстановкой x = a∙sin(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

б) интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx подстановкой x= a∙ sec(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

в) интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx подстановкой x = a∙tg(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

§4. Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интеграл вида ∫R(sinx;cosx)dx, где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg(x/2) = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).

II. Интеграл вида ∫(sin^mx)*(cosⁿx)dx I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное.

Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin^2p(x)cosⁿ(x) sin(x)dx = – ∫(sin²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)) =

= – ∫(1 –cos²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)).

II.случай. m и n – целые, положительные, четные.

Пусть m=2p, n=2q, тогда

∫sin^m(x)cosⁿ(x)dx = ∫sin^2p(x)cos^2q(x)dx = ∫(sin²x) ^p(cos²x) ^qdx =((1-cos2x)/2)^p*((1+cos2x)/2)^q;

Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).

III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t;

§5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции (не берущиеся).

1. ∫R(x,(p_n(x))^(1/2))dx, где Pn(x) – многочлен n-ой степени; не берется, если n выше 2-ой степени; при n = 2,3,4.. – интеграл эллиптического типа.

2. ∫e^-x2dx- интеграл Пуассона.

3. ∫sinx²dx; ∫cosx²dx;- интегралы Френеля.

4. ∫(ln(x))^(-1)dx и сводящийся к нему ∫(e^x/x)dx - интегральный логарифм.

5. ∫(sin(x)/x)dx; ∫(cos(x)/x)dx; - интегральный синус, интегральный косинус.