Шпоры по интегралам1

1. Определение неопределенного интеграла

Если функция F(x) – первообразная для ф-ии f(x) на промежутке [a,b] , то множество ф-ий F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-и f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx=F(x)+C

При этом ф-я f(x) называется подынтегральной ф-ей, f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

2. Определение первообразной от непрерывной функции

Функция F(x) называется первообразной для ф-ии f(x) на промежутке [a,b] , если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x)

Если функция f(x), хЄ[a,b] – непрерывная, то для нее существует первообразная (неопред. Интеграл)

3. Теорема: Если ф-я F(x) является первообразной ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то множество всех первообразных ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, где С-константа

Док-во: F(x)+C – первообразная, тогда (F(x)+C)’= F’(x)+C’= F’(x)=f(x)

Ф(х) – тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>

Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С

Почему так: ф-ия, производная которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке.φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

4. Выражение (∫f(x)dx)’ – Производная неопределенного интеграла = подынтегральной функции. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выражение ∫dF(x) – Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C

6. Если k-постоянное, ненулевое число, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx – Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообразная для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообразная для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Отсюда следует: k∫f(x)dx= k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC

7. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, u=φ(x) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифференциала. Инвариантность первого дифференциала: y=f(x) dy=f’(x)dx y=f(u), u=φ(x) – непрерыв,диф-я dy=f’(x)du dF(u)=F’(u)du=f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d(∫f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопределенного интеграла = подынтегральному выражению. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx –неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммы интегралов от этих ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C=F(x)+G(x)+C1+C2= F(x)+C1+G(x)+C2=∫f(x)dx+∫g(x)dx

10. Вывод формулы замены переменного в неопределенном интеграле (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) определена и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-множество значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на множестве Х ф-я f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt

Док-во: Пусть F(x)-первообразная для f(x) на множестве Х. Рассмотрим на множестве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’=F_x’[φ(t)]φ’(t)=f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на множестве Т первообразную F[φ(t)]=> ∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C, Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C=∫f(x)dx, Получаем: : ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt

11. Вывод формулы интегрирования по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы на некотором промежутке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: Из равенства [u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует что u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x) Первообразной ф-ии [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х. Интегрируя последнее равенство получаем: : ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv, u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu

По лекциям: d(uv)=udv+vdu Проинтегрируем последнее соотношения: ∫d(uv)=∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu

12. Определение дробно рациональной функции. Понятие правильной и неправильной рациональной функции. Простейшие дроби вида 1-4.

Функция вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+ a₀

n – натуральное число. a_i, i=0,n – постоянные называется многочленом n-ой степени.

Определение : Дробно рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция равная отношению 2-х многочленов т. е: f(x)=P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-многочлен степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если m<n. Если m>=n, то дробь называется неправильной.

P(x)/ Q(x)=S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a)

2)A/(x-a)^k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

13. Разложение рациональной дроби на простейшие. Если рациональная ф-я R(x)/Q(x) имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представлен в виде Q(x)=A(x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z…, где a,b,..,p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единственным образом представить в виде: R(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)²+…. An/(x-a)ⁿ+….(M1x+N1)/(x²+2px+q)+ (M2x+N2)/(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k + , где А1,А2,..М1..N1-вещест числа

15. Если х=а – действительный корень кратности k знаменателя Q_n(x) правильной рациональной дроби , т.е. Q_n(x)=(х-а)^kÕ_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы двух правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k +Rs(x)/ (х-а)^k-1 Õ_n-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[A Õ_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]=[ A Õ_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)]=A/(х-а)^k +[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k Õ_n-k(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я P_m(x)- A Õ_n-k(x)=0; P_m(а)- A Õ_n-k(а)=0 ; P_m(а)≠0 и A Õ_n-k(а)≠0 ; A= P_m(а)/A Õ_n-k(а) ; P_m(x)- A Õ_n-k(x)=(x-a) Rs(x) ; P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õ_n-k(x)]= A/(х-а)^k + Rs(x)/[(х-а)^k-1 Õ_n-k(x)] ; A= P_m(а)/Õ_n-1(а)

16. Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) многочлен не делится на x²+px+q, то правильную рациональную дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы двух правильных: P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] ,µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-( Mx+N) Т_n-µ(x)]/

/(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-( Mx+N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]

для любого µ и N.

x²+px+q=0, D<0, x₁₂=α±iβ , µ и N: P_m (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T _n-µ( α+iβ)=0.

µ (α+iβ)+N=[ P_m (α+iβ)] /[ T _n-µ( α+iβ)]=k+il.

Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b)

µb=L=> m=L/b

P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)]

17. Вычисление интегралов от тригонометрических функций.

1)∫R(sinx, cosx)dx Замена переменных tg(x/2)=t (универсальная тригонометрическая замена)

sinx=2t/(1+t²)

cosx=(1-t²)/ /(1+t²)

dx=2/(1+t²)dt

∫R(2t/(1+t²), (1-t²)/ /(1+t²)) 2/(1+t²)dt=∫Ř(t)dt

2)∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3)∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t²)|= ∫R(t)dt/(1+t²)

5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t²)| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1

∫sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=∫(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t ² )^k t ⁿ dt

b)n=2k+1

∫sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ∫sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

7) ∫sin ^2p x cos ^2a xdx

sin²x=(1-cos2x)/2

cos²x=(1+cos2x)/2

sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ

n=-ν замена t=tgx

1/ sin²x=1+ ctg²x

1/ cos²x=1+tg²x

9) ∫tg ^m x dx; ∫ctg ^m x dx, m-целое положительное

tg²x=1/ cos²x-1

сtg²x=1/ sin²x-1

10) ∫sinmxcosnxdx

∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdx

sinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

cosmxcosnx=(1/2)(cos(m-n)x+cos(m+n)x)