Раздел II.

§1. Определенный интеграл.

Задача нахождения площади криволинейной трапеции.

Дано: y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]

y

y=ƒ(x)

ζ1 ζ2 ζi ζn

0 a x1 xi-1 xi xn-1 b x

Фигура, ограниченная кривой y=ƒ(x) прямымиx=aиy=bи осьюOxназываетсякриволинейной трапецией.

Найдем площадь:

1) разобьем отрезок [a,b] наnчастей точкамиa=xo <x1<x2<…<xi-1<xi<..<xn =b.

2) через точки деления проведем прямые параллельные оси Оу. В каждом частичном отрезке

[Xo , X1] , [ X1,X2 ] , … [ Xi-1, Xi ] … [ Xn-1, Xn ] выберем произвольные точки

ζ1 ζ2 ζi ζn

Найдем значения функции в этих точках ƒ(ζ1), ƒ(ζ2), ƒ(ζi), ƒ(ζn), и найдем сумму площадей прямоугольников с основанием Δхi= хi – хi-1, i=1,n .

Сумма площадей прямоугольников равна:

, за площадь криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится эта сумма:

.

§2. Определение определенного интеграла.

1. Разобьем отрезок [a,b] наnчастей точкамиa=xo <x1<x2<…<xi-1<xi<..<xn =b.

2. В каждом частичном отрезке [ Xi-1, Xi ] длиной Δхiвыберем произвольные точки ƒ(ζi)

(i=1,n ) 3. Найдем значение функции в этих точках ƒ(ζi).

4. Найдем сумму -интегральная сумму.

Каждая сумма зависит от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части. Разбивая произвольные образом отрезок на части и выбирая различные точки, получаем последовательность интегральных сумм.

Определение1: Если существует предел последовательности интегральных сумм, независящей от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части, то он называется определенным интегралом от функции ƒ(х) на отрезке [a,b] и обозначается

, итак по орпеделению1:, тогда площадь криволинейной трапеции:Sкр.тр.=.

Определение2:Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b], если существует определенный интеграл от этой функции на этом отрезке.

§3.Условие существования определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Замечание:Геометрический смысл интеграла есть площадь криволинейной трапеции.

Sкр.тр.=.

Свойства определенного интеграла.

1.. y

1

a b x

2. =.

3. Рассмотрим: интеграл выносится за знак интеграла.

=k.

Доказательство.

==k = k;

4. =+.

Доказательство.

=| по определению| == ==+= =+.

5. Если [a,b] точкойcделится на 2 отрезок [a,c] и [c,b], то

=+.

Доказательство.

Рассмотрим 1 случай: с между а и b.

Так как определенный интеграл – предел последовательности

^{| | | | | | | | | |} интеграла суммы, не зависящего от способа

^{a c b} разбиения отрезка на части , то разобьем отрезок на части так, чтобы точка с совпала с точкой разбиения.

Тогда =+.

Перейдем в этом равенстве к пределу при х→0, получим:

=+;

=+.

2 случай: Пусть с лежит вне отрезка [a,b]abc

Тогда по показанному в 1случае,^{|| |}

=+;

Но = –;

Тогда =-;

Отсюда: =+.

6. Если на отрезке [a,b] ƒ(x)≥0 , то≥0.

Доказательство.

По условию ƒ(ζi)≥0 , Δxi =xi – xi-1 >0;

Тогда

, таким образом,≥0.

7. Если на отрезке [a,b] ƒ1(х)≥ ƒ2(х), то≥.

8. ≤;

Доказательство.

Известно, что –≤ ƒ(х)≤.

По свойству 7

– ≤≤, по свойству абсолютной величины

≤;

9. Если функция y= ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], то

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)

Оценка интеграла.

Доказательство.

Так как функция ƒ(х) непрерывна на [a,b], то по свойству непрерывной на отрезке функции, она достигает на этом отрезке своего наименьшего значенияmи наибольшего значенияM.

Тогда m≤ ƒ(х) ≤M

По свойству 7: ≤≤;

По свойству 3: m≤≤M;

По свойству 1: m(b-a) ≤≤M(b-a);

Геометрический смысл свойства 9:SM(b-a)

m

Sm(b-a)

a b

Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на [a,b], то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка ζ, в которой имеет место равенство:

= ƒ(ζ) или

= (b – a) ƒ(ζ);

Доказательство.

Так как функция непрерывна на отрезке по свойству 9 имеем:

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a);

разделим на (b-a):

m≤≤M;

обозначим через μ, тогда:

m≤ μ ≤M;

Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по свойству функции, непрерывной на отрезке, она принимает любое значение, по крайней мере в одной точке, данного междуmиM.

Значит, найдется такая точка ζ [a,b], в которой функция принимает значение равное μ.

т.е. ƒ(ζ) = μ;

Таким образом = ƒ(ζ);

Геометрический смысл: ƒ(х)

a ζ b

= ƒ (ζ)(b-a) ;

Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием b-aи высотой, равной значению функции в некоторой «средней» точке ζ.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Функция y= ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], х[a,b];

Рассмотрим интеграл- интеграл зависит от х, т.е. является функцией от х.

y

y= ƒ(х)

ΔΦ

x+Δx

0 a x ζ b x

Обозначим интеграл Φ(х). Переменную интегрируемую обозначаем черезt, чтобы не спутать с верхним пределом х.

Теорема:Производная от интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции по верхнему пределу равна подынтегральной функции, с заменой переменной, интегрируемая на верхней предел, т.е.

= ƒ(х);

Доказательство.

Дадим х приращение Δх, тогда Φ(х), получим приращение ΔΦ=Φ(х+ Δх) -Φ(х) =

=–= | по свойству 4| =+–= { по теореме о среднем} = ƒ (ζ)(x+ Δх –x) = ƒ(ζ)Δх.

Итак, получили, что ΔΦ= ƒ(ζ)Δх.

Разделим обе части на Δх, получим:

= ƒ(ζ), где ζ лежит между х и х + Δх.

Перейдем к пределу.

() =ƒ(ζ); х ζ х+Δх

при Δх→0 (х+ Δх) →х, а ζ →х;

() = ƒ(х). Но этот предел есть производная отΦ'(х)

Φ'(х) = ƒ(х);

= ƒ(х);

Замечание1 из доказательства видно, что функцияΦ(х) является первообразной для функции ƒ(х), а значит попутно доказали теорему.

Замечание2:

Если функция непрерывна на [a,b] , то на этом отрезке существует первообразная функции.

Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенный интеграл связаны следующим соотношением:

.