§4. Интегрирование тригонометрических функций.
I.
Интеграл вида
, гдеR(sin(x),cos(x)) – это
рациональная функция относительноsin(x) иcos(x)
подстановкойtg
=tсводится к интегралу
от рациональной функции относительноt.
Действительно найдем.
= arctg(t);
x
= 2 arctg(t); dx = 
;
sin(x)
= sin2
= 
;
разделим
числитель и знаменатель на cos2
;
|tg
=t|
sin(x)
=
;
cos(x)
=
, делим наcos2
;
cos(х)
=
;
тогда
=
= ∫r(t)dt,
гдеr(t) –
рациональная функция
относительноt.
r(t)
Пример: Вычислить.
= | tg
=t| = 
= 
=
=
2 
=
-2
=
-2
=
;
Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интегралаsin(x) иcos(x).
Замеяание1:часто применение универсальной подстановки приводит к громоздким вычислениям. Некоторые интегралы могут быть решены другим способом.
а) ∫ R(sin(x))cos(x) dx = | sin(x) =t; cos(x)dx = dt | = ∫ R(t) dt.
∫ R(t)dt– интеграл от рациональной функции относительноt.
б) ∫ R(cos(x))sin(x) dx = – ∫ R(t) dt;
в
)
∫ R(tg(x)) dx = | tg(x)=t; x= arctg(t); dx = dt/(1+t2)|
= 
= ∫r(t)dt ,
r(t)
где r(t)- рациональная функция относительноt.
Пример: вычислить интеграл.
=
=
|sin(x) = t ; cos(x)dx=dt| = 
=
=
_-t2
+1 |t+2
=∫(2 – t –3/(t+2))dt = 2t – t2/2
– 3 ln|t+2| = 2 sin(x)-1/2sin2x
–3ln|sin(x)+2|+C
- t2-2t -t+2
_ 2t+1
2t+4
-3
Замечание2:если подынтегральная функция содержитsin(x) иcos(x) в четной степени и произведениеsin(x)cos(x), то целесообразней применять подстановкуtg(x) =t, тогда
x
= arctg(t), dx = 
;
;
;
sin(x)cos(x)
= 
;
В результате получается рациональная функция относительно t.
Пример:
= |tg(x) =t;dx=
|
=
=
=
=
=
=
=
=
+C.
II.
Интеграл вида
а)
Iслучай.mиn– положительные, одно из них нечетное.
Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin2p(x)cosn(x) sin(x)dx = – ∫(sin2x) p cosn(x) d(cos(x)) =
= – ∫(1 –cos2x) p cosn(x) d(cos(x)).
II.случай.mиn– целые, положительные, четные.
Пусть m=2p,n=2q, тогда
∫sinm(x)cosn(x)dx
= ∫sin2p(x)cos2q(x)dx
= ∫(sin2x)
p(cos2x)
qdx = 
;
Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).
III.случай.m+n= –2k;tg(x)=t;ctg(x)=t;
Пример1:
I.случай.∫sin5(x)cos2(x)dx = ∫sin4(x)cos2(x)sin(x)dx = –∫(sin2x) 2cos2(x)d(cos(x)) =
= –∫(1 – cos2x) 2cos2(x)d(cos(x)) = –∫(cos2x – 2 cos4x + cos6x)d(cos(x)) = –∫cos2(x)d(cos(x)) +
+ 2 ∫cos4(x)d(cos(x)) –∫cos6(x)d(cos(x)) = – cos3(x)/3 + 2 cos5(x)/5 – cos7(x)/7 +C.
Пример2:
∫sin4(x)cos2(x)dx
= 
= 
∫(1
– cos2x)(1 – cos2(2x))dx
=
=
∫(1
– cos2x)sin2(2x))dx
= 
∫sin2(2x))dx
– 
∫cos2x∙sin2(2x))dx
= 
–
–
∫sin2(2x))d(sin2x)
= 
∫dx
– 
∫cos(4x)dx
– 
sin3(2x)
= 
x
– 
sin(4x)
–
–
sin3(2x)
+ C.
Пример3:
= ∫sin2(x)cos-6(x)dx
= | m+n = 2-6 = 4| = 
=
= ∫ tg2(x)( 1+tg2(x))d(tg(x)) = ∫ tg2(x)d(tg(x)) + ∫ tg4(x)d(tg(x)) = tg3(x)/3 + tg5(x)/5 + C.
Пример4:
= 
= 
= 
∫
sin–6(x)cos–6(x)
dx = | m=-6; n=-6; m+n=-12; | = 
= 
= =
=
= |(1+x)n=
1 + nx +
+
|
= 
= 
∫
tg–6x
d(tg(x)) +
+
∫
tg–4x
d(tg(x)) + 
∫
tg–2x
d(tg(x)) + 
∫
d(tg(x)) + 
∫
tg2x
d(tg(x)) +
+
∫
tg4x
d(tg(x)) = 
(
+
5 tg2(x)
+ 
tg3(x)+
tg5(x))
+ C.
§5. Интегралы, не выражающиеся
через элементарные функции (не берущиеся).
1.
, гдеPn(x)
– многочленn-ой степени;
не берется, еслиnвыше
2-ой степени; приn=
2,3,4.. –интеграл эллиптического типа.
2. 
- интеграл Пуассона.
3.
;
- интегралы Френеля.
4. 
и сводящийся к нему
- интегральный логарифм.
5.
;
;
- интегральный синус, интегральный
косинус.