11.Основные законы распределения вероятностей случайной величины. Параметры распределений.

• Дискретное распределение – распределение, при котором встречаются с равными вероятностями только 2 значения СВ: +Xm и –Xm наз. Дискретным 2^хзначным распределением.

Распределение Коши (пологое)

• Нормальное распределение плотности вероятности характерно тем, что, согласно центральной предельной теореме, такое распределение имеет сумма бесконечно большого ряда бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим.

где

- математическое ожидание и

- среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений.

Распределение, описываемое этими уравнениями, называется нормальным или распределением Гаусса.

На рисунке изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения

• Распределение Лапласа

P(x)=1/2·e^-|x|

• Равномерное распределение

Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением

• Арксинусоидальное распределение

X=XmSin(wt)

12.Понятие центра распределения. Способы определения координаты центра распределения.

Координата центра распределения определяет положение СВ на числовой оси.

Центр – такая точка на оси Х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений СВ равны между собой и равны 50%.

Оценкой ЦР может быть абсцисса моды распределения, т.е. максимальной плотностью.

Координата центра может быть найдена несколькими способами:

При симметричном распределении погрешностей отн. центра распределения

• Из принципа симметрии вероятностей, т.е. нахождение такой точки на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют P₁=P₂=0.5. Такое значение x_ц называется медианой;

• Как центр тяжести распределения, т.е. такой абсциссе х, относ. которой опрокидывающий момент =0.

При ассиметричной кривой плотности распределения вероятностей оценкой центра распределения может служить:

• Абсцисса моды распределения, т.Е. Координата максимума плотности. Однако у равномерного распределения нет моды

13 Моменты распределений. Коэффициенты асимметрии, эксцесса и контрэксцесса.

Моменты распределений используют для описания свойств распределения параметра законов распределения.

Пусть у нас имеется случайная величина X. Моментом n-го порядка Mn(a) по отношению к значению a называется математическое ожидание n-й степени отклонения X от а, т.е.

M_n(a)=M(X-a)ⁿ

• Если а=0, момент называется начальным (_n), а при a=M(X) его называют центральным (_n).

- центральный момент n-го порядка для непрерыв. СВ.

Другими словами

Начальные моменты (найденные без исключения систематической составляющей) – если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат.

Центральные – если усредняются величины, отсчитываемые от центра закона распределения.

• Моментом 1-го порядка

М(х)=Σх_iP_i

• Второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.(характеризует рассеивание случайной величины)

отклонением результатов наблюдений:

• Коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:

• Эксцесс - безразмерная характеристика, определяемая выражением:(момент 4 порядка – характеризует протяженность склона распределения)

Контрэксцесс Н ( (изменяется от 0 до 1))

– 14.Квантильные оценки случайной погрешности. – 15. Общие вопросы теории погрешностей приборов и измерений: • 15.1 Разновидности погрешностей.

• 15.2 Основная и дополнительная погрешность.

По условиям возникновения у средств измерения различают основную и дополнительную погрешности. Каждое средство измерения предназначено для работы в определенных условиях, указываемых в нормативно-технической документации. При этом отдельно указывают нормальные условия применения ср-в измерений, т.е. условия, при которых величины, влияющие на погрешности данного средства измерения, находятся в пределах нормальной области значений и рабочие условия применения – условия работы, при которых значения влияющих величин выходят за пределы нормальных, но находятся в пределах рабочих областей. Погрешность ср-ва измерения, определенная при нормальных условиях, называется основной. Погрешность, обусловленную выходом значений влияющих величин за пределы нормальных значений, называют дополнительной.

Пример. Амперметр предназначен для измерения переменного тока с номинальной частотой (50±5) Гц. Отклонение частоты за эти пределы приведет к дополнительной погрешности измерения.

Для оценивания дополнительных погрешностей в документации на средство измерений обычно указывают нормы изменения показаний при выходе условий измерения за пределы нормальных.

γ = ψ*∆Ө - дополнительная погрешность.

Ψ- коэффициент влияния.

• 15.3 Понятие полосы погрешностей, реальной и номинальной характеристик средств измерений.

• 15.4 Абсолютная, относительная и приведённая погрешность.

Погрешность выраженная следующими формулами имеет размерность измеряемой величины и называется абсолютной погрешностью.

(т.к. истинное значение измер. величины неизвестно, данную формулу не применяют для вычисления погрешности измерения). На практике Хист заменяется на его оценку – действит. значение величины Хд, и погрешность рассчитывается по формуле:

- не характ. погрешность прибора.

Используется также понятие относительной погрешности- погрешности, выраженной в долях измеряемой величины (выражается безразмерной величиной).

γ=∆х/х (может служить характеристикой точности прибора).

γ может возрастать до бесконечности и поэтому тоже явл. не совсем хорошей характеристикой точности прибора.

Поэтому используют еще одну характеристику – приведенная погрешность.

γ_n=∆х/Хk = ∆у/Уk

где Хk- диапазон измерений.

• 15.5 Методы нормирования погрешностей средств измерений.

Под нормированным значением погрешностей понимают погрешности, которые явл. предельными для данного типа средств измерения (нормируется основная и дополнительная погрешности).

Нормированные значения погрешностей устанавливаются стандартом.

Класс точности – это характеристика, определяющая гарантированные границы погрешностей (основных и дополнительных) и другие свойства средств измерений, влияющие на точность.

От нормирования отличается соотношением аддитивной и мультипликативной погрешностей.

Чистая мультипликативная погрешность.

Абсолютная погрешность возрастает пропорционально Х (полоса погрешностей).

γ- const

Если относительная погрешность постоянна (γ- const), то такая погрешность очень удобна для нормирования. Класс точности определяется γ.

Реально преобразователей с чисто мультипликативной составляющей не существует (она может существовать в определенном диапазоне не существует ()ателей с чисто мультипликативной составляюще меряемой величины и назавется абсолютной погрешностьюя от истинн).

γ - всегда указываются границы, в которых существует чисто мультипликативная погрешность.

γ γ _{0 ;} где γ ₀ – приведенная погрешность, Х- диапазон измерений.

Др-рабочий диапазон , Дп- полный диапазон

∆₀ – порог чувствительности.(численно равен измеряемой величине, если х<Δ то погрешность стремиться к бесконечности)

γ_з-заданная погрешность

γ(х)=

γ ∆x | Х

γ_S ( = γ_H)

γ_пр ( x) = γ_H + γ_S *

γ_пр ( x) = γ_H + γ_S - γ_К (Х=х)

γ(х)= γ_S+ γ_Н*(Х_К/х)

• 15.6 Расчёт оценки статической погрешности результата измерений по паспортным даны СИ. • 15.7 Правила округления значений погрешности и результатов измерений. 3 .16 Методы статистической обработки многократных отсчётов.