Теор Признак Лейбница

Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

 Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |a_n|=0, |a1||a2||a3||an|=c_n тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1), если a10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.

а10. Для частич. сумм с чёт. номерами n=2k имеем S_2k=c1-c2+c3-c4+…+c_2k-1-c_2k=

{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c_2k-1-c_2k (3)

{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c_2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки 0, поэтому (3) S_2k0, посл. {S_2k} возрастает: S_2k+2 = S_2k+ (c_2k+1-c_2k+2) S_2k. (4) S_2kc1. Т.о. {S_2k} возрастает и ограничена сверху она имеет конеч. lim S, причём 0 S_2kс10 Sс1.

34. Коши радик сход-сти ряда. Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует т число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, вып нера-во , то данный ряд сходится. Если для ряда

, то если ряд сходится, если l > 1 ряд расходится. Док-во. 1. Пусть l < 1. существует такое , что . Поскольку сущ предел , то подставив в определение предела выбранное получим: Раскрыв модуль, получаем: ; ; Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится. 2. Пусть l > 1. Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим: Раскрыв модуль, получаем: ;

Поскольку , то ряд расх. След-но, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

36. Знакоепрем ряды. Усл и абс сх-сть.

Теор Об абсолютной сходимости.

Если сходится |a_n|, то сх-ся и сам a_n. Опр: Если ряд |a_n| сх-ся, то говорят, что ряд a_n абс. сх-ся. Если сам ряд a_n сх-ся, а ряд |a_n| расх., то говорят, что a_n сх-ся неабсолютно(условно).

37. Функц ряд, обл сх-сти.

Опр. Функ-й ряд наз сходящимся в т (х=х₀), если в этой точке сх посл-сть его частных сумм. Предел посл-сти называется суммой ряда в точке х₀. Опр. Сов-сть всех значений х, для которых сходится ряд наз-ся обл-ю схо-ти ряда.

Опр. Ряд -равном сход-ся на отр [a,b], если равномерно сх на этом отрезке посл-сть частных сумм этого ряда.

38. Степ ряды, т Абеля Степенным рядом называется ряд вида

. Для иссл-я на сх-сть степрядов удобно исп признак Даламбера. Теор. Если степенной ряд сходится при x = x₁ , то он сх и притом абс-но для всех . Док-во. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k- некот пост число. Справедливо следующее неравенство: Из этого нер-ва видно, что при x<x₁ числ величины членов нашего ряда будут меньше соотв членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геом прогр. Знам-ль этой прогр по усл теоремы <1, след-но, эта прогрессия предст собой сход ряд. Поэтому на осн признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сх абс. Т.о, если степенной ряд сходится в т. х₁, то он абсолютно сх в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

Сл-вие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расх для всех .

46. Градиент поля и его св-ва.

Опр: Если в некото обл D задана ф-ция u = u(x, y, z) и некот в-р, проекции которого на корд-ные оси равны знач-м ф-ции u в соотв-щей т , то этот в-р наз-ся град-м функции u. При этом говорят, что в области D задано поле градиентов. Связь градиента с производной по направлению. Теор: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов . Тогда производная по напр-ю некот вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Гр-нт – вектор, показ-й направление наискорейшего изменения некот скал-го поля u в к- л точке, направление вектора grad f указывает направление возрастания ф-ции.

СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1) grad ┴ линии уровня; 2) grad направлен в сторону возрастания ф-ции; 3) длина grad равна макс. Величине производной по направлению д-й точки, др.словами, производная по направлению принимает макс. Значение в том направлении, куда «смотрит» grad.

44.Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя опр-е этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту ф-ю в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В рез-те получится четн ф-я. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам. Если мы продолжим опр-е функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.

39. Т.о, для каждого степ ряда существует такое положит число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расх. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сх-сти. этот интервал мб как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкн. Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Если (2) сход в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сх абс-но. Замеч1. Для степ ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[. Если для С_nⁿ ]-R,R[  -R<  <R, т.е. -R<x-a<R  a-R< x <a+R Замеч2. На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абс) и расх, поэтому обл сход-ти степ ряда с точностью до граничных точек совп с интервалом сходимоси  чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2)- он совп с интервалом сход-ти ряда из модулей C_nxⁿ, т.к. внутри интервала сх-ти ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд C_nxⁿ, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Т.о дело сводится к нахожд инт-ла сход-ти положит-го ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.