26.Лду высш пор-в.Лин зав-сть и н/зав решений

Определение 13. Система функций , определён-ных на промежутке , называется линейно зависимой на этом про-межутке, если . (23)

Если же последнее тождество в (23) им место лишь в случае, когда все пос-тоянные одн-нно =0, то сист ф-ций называется линейно независимой на

32. .Т-ма (необходимые признаки сход-ти). (1) Если ряд (1) сх, то:

1) n-ый член ряда стр к 0: lim a_n =0.

2)сумма k-ого остатка ряда, при к, стр к н0: lim r _k=0

 Пусть ряд (1) сходится, тогда:

1)lim S_n = S  lim S_n-1 = S  lim a_n = lim (S_n-S_n-1)= S - S = 0; 2) lim r_k =  т-ма о сход-ти ряда = lim(S-S_k)=S-lim S_k=S-S=0 

Из т-мы следует, что если lim a_n0, то ряд расходится, но условие lim a_n=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)

30. Числовые ряды. Основные понятия.

Опр. Сумма членов беск числ посл-сти - числ ряд.

Числа -чл ряда, а u_n – общим членом ряда. Опр. Суммы , n = 1, 2, … - частн суммы ряда. То, возможно рассм посл-сти частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Опр. Ряд - сход-ся, если сх-ся посл-ть его частных сумм. Сумма схо ряда – предел посл-сти его частных сумм. Опр. Если посл-сть частных сумм ряда расхо-я, т.е. не имеет предела, или имеет бескон предел, то ряд –расх-ся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов.1) Схо-сть или расх-сть ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – пост число.

Теор. Если ряд сх и его сумма =S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C  0) 3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где эл-ты получены в результате сложения (вычитания) исх-х эл-в с одинак номерами. Теор. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то ряд тоже сходится и его сумма = S + . Разность 2х сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сх и расх рядов будет расх рядом. О сумме 2х расх рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

33. Теор Признак Даламбера

Если сущ. lim (an+1)/an=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся при D>1- расх-ся, причём lim an=+

 Если lim (an+1)/an<1, то ( q>0):[ lim (an+1)/an<q<1]. По сл-ию о сохр. нер-ва Т-6.5. нач. с нек. номера n будет (an+1)/an<q. Благод. (32). мож. Счит., что (n)[ (an+1)/an < q],знач.(n)[a_n+1<anq]a2<a1q,a3<a2q<(a1q)q=a1q²a3<a1q²…an<a1q^n-1. Т.к. геом. р. a1q^n-1 при 0<1 сх-ся, то по пр-ку срав. Сх-ся ряд an. Пусть lim (an+1)/an>1, тогда (q):[ lim (an+1)/an>q>1]. При дост. больших номрах n будет (an+1)/an>qa_n+1>anq, мож. счит., что это верно при всех ном-х n, отсюда ан-но предыд получаем an>a1q^n-1; но lim a1q^n-1=+ lim an=+, ряд расх-ся.

35. Знакочеред ряды. Т лейбница.

Ряд у которого полож. члены чередуются через один наз-ся знакочередующимся. Для зн.ч. ряда им-ся свой дост. признак. сх-ти.