Системы эконометрических уравнений

При использовании отдельных уравнений регрессии предполагается, что можно изменять факторы независимо друг от друга. На самом деле изменение одной переменной ведёт к изменению во всей системе взаимосвязанных признаков, поэтому отдельно взятое уравнение множ. регрессии не показывает истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экон. исследованиях используют системы т.н. одновременных уравнений (структурных уравнений). Система уравнений может быть построена по-разному.:

1. Система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов. Уравнение 1

Набор факторов в каждом уравнении может варьироваться. Каждое уравнение этой системы может быть рассмотрено самостоятельно. Каждое уравнение – обычное уравнение множ. регрессии. Параметры этих уравнений могут быть найдены с помощью МНК.

2. Если зависимая переменная у выступает в виде фактора х в другом уравнении, то строят модель в виде системы рекурсивных уравнений. Уравнение 2

В этой системе каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и параметры этих уравнений находятся МНК.

3. Система взаимозависимых переменных. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнений входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть. Уравнение 3

Эта система получила название системы совместных одновременных уравнений. Также такую модель называют структурной формой модели. В отличие от двух предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный НМК неприменим.

Структурная и приведенная формы модели

Система совместных одновременных уравнений или структурная форма модели (СФМ) содержит эндогенные и предопределенные переменные. Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых обычно равно числу уравнений в системе. В этой системе m эндогенных переменных. Предопределенные переменные влияют на эндогенные, но не зависят от них. Предопределенные переменные делятся на 2 вида – экзогенные (определены вне системы) и лаговые – эндогенные переменные за предшествующий период времени.

y_t=d₁y_t-1+ax₁ (у_t-1 – лаговая переменная)

Структурная форма модели позволяет определить влияние изменений любой предопределенной переменной на значение эндогенных переменных.

Таким образом, в качестве предопределенных переменных целесообразно выбирать переменные, которые могут быть объектом регулирования, управляя ими можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных. СФМ в правой части содержит коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели (a&b). Использование НМК для оценивания структурных коэффициентов модели даёт смещённые и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ). ПФМ представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных СФМ.

Запишем систему ПФМ для структурной формы модели *

Приведенная форма модели: уравнение 4

Найти коэф-ты ПФМ мы можем, применив МНК.

Коэф-ты приведенной формы представляют собой нелинейные функции коэф-в СФМ. Рассмотрим это положение.

Для структурной модели вида ур5

Для это СФМ ПФМ будет иметь следующий вид: уравнение6.

Из первого уравнения СФМ выразим у₂:

Ур7

Подставим во 2ое уравнение СФМ:

Ур8

Таким образом, коэф-ты ПФМ будут выражаться через коэф-ты СФМ следующим образом:

Ур9

В отличие от СФМ в ПФМ отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.