Понятие о корреляционной связи

При взаимосвязи признаков одни рассматриваются как факторы, влияющие на изменения других признаков – факторные признаки (х). Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными (у).

Пример. Если изучается зависимость спроса на товары, то спрос – результативный, предложение товара – факторный признак.

Статистическая связь проявляется в массовых явлениях, при которых значению факторного признака соответствует множество значений результативного признака. При этом признаки могут быть, как количественными, так и качественными.

Корреляционная связь – статистическая связь, при которой изменение значения факторного признака вызывает различные изменения средних значений результативного признака. Корреляционная связь изучается только по количественным признакам. Слово «корреляция» означает соответствие.

Если рассматривается связь средней величины результативного признака с одним фактором, корреляция называется парной у=f(x). Если факторов несколько, корреляция – множественная y=f(x1, x2…xn).

По характеру изменения фактора и результата парной корреляции различают нелинейную и линейную зависимость. Линейная зависимость бывает прямой и обратной.

Прямая связь график 1.

Пример. Чем больше стаж работы, тем выше производительность труда. Чем выше производительность, тем меньше себестоимость.

При исследовании корреляционной связи рассматривают следующие вопросы:

1. Выявление наличия связи;

2. Количественная оценка тесноты связи с помощью специальных коэф-в;

3. Построение математической модели связи, в которой среднее значение результативного признака рассматривается как функция одного или нескольких факторов (занимается регрессионный анализ).

Парная корреляция

Парная корреляция позволяет оценить тесноту связи. Для выявления корреляционной связи можно построить поле корреляции.

Поле корреляции – поле точек, координаты которых (х,у) определяются значениями факторного и результативного признаков. Расположение точек на поле корреляции позволяет судить о наличии связи и о её характере (линейная, нелинейная). Рисунок 1.

По полю корреляции мы выдвигаем только гипотезу. Глядя на одно и то же поле, мы можем судить как о линейной, так и о нелинейной связи.

Пример. Изучается зависимость оценки (у), полученной на экзамене 8 студентами от суммы баллов (х), набранных ими в течение семестра.

№ студента	Оценка на экзамене (у)	Сумма баллов (х)	xi-xср	Yi-yср	(xi-xcp)2	(yi-ycp)2	(xi-xcp)*(yi-ycp)	y^	yi-y^	(yi-y^)2
1	2	58	-23	-1,75			40,25	2,172	0,172
2	3	64	-17	-0,75			12,75	2,586	0,414
3	3	80	-1	-0,75			0,75	3,69	0,69
4	4	79	-2	0,25				3,621	0,349
5	4	86	5	0,25				4,104	0,104
6	4	90	9	0,25				4,38	0,38
7	5	95	14	1,25				4,725	0,275
8	5	96	15	1,25				4,794	0,206
	30	648			1350	7,5	93		2,62

у

х

Для измерения тесноты корреляционной связи используют парный линеный коэф-т корреляции.

= . Коэф-т парной корреляции измеряется от -1 до 1. Чем ближе к 1 по модулю, тем теснее связь. Симметричная мера связи.

Квадрат r – коэф-т детерминации, более предпочтителен, т.к. может быть использован для измерения и нелинейных связей.

Если значения отклонения от среднего значения совпадают, то коэф-т больше (связь прямая). В противном случае – связь обратная.

Если rxy=0, то связь отсутствует. Чем ближе значение к 1, тем связь теснее. Если =1, то связь функциональная. Чем он ближе к 0, тем связь слабее.

Коэф-т корреляции – симметричная функция, т.е. rxy=ryx.

ryx<0,3 – слабая связь;

0,3<rxy<0,7 заметная связь;

rxy>0,7 – тесная связь;

rxy>0,9 – очень тесная связь.

Посчитаем коэф-т парной линейной корреляции для примера. Для этого посчитаем следующие показатели.

= =648/8=81

= =30/8=3,75

σ= = =12,99

σ= = =0,97

r_xy= =0,92

rxy²-коэф-т детерминации^. Показывает долю вариации результативного признака под действием факторного признака. 0<rxy²<1. Чем ближе значение к 1, тем больше вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного признака. Чем ближе к 0, тем меньше. Коэф-т вариации может выражаться в %.

rxy²=0,85 или 85%. Значит сумма накопленных за семестр баллов объясняет 85% различий в оценках, полученных на экзамене. 15% зависит от других факторов.

Если связь установлена, целесообразно перейти к 3му этапу – построению матем. функций.