Парная линейная регрессия

Уравнение, описывающее корреляционную связь между зависимой переменной у и одной независимой переменной х, называется парной регрессией. При выборе типа функции руководствуются характером расположения точек на поле корреляции, а также содержанием изучаемой связи, которая обеспечивает наилучшую аппроксимацию поля корреляции.

Когда влияние изменения фактора на результат постоянно, то обычно используют линейную функцию. В других случаях – используют нелинейную функцию.

у=а+bx

у-среднее значение результативного признака при определённом значении факторного признака х; а – свободный член уравнения регрессии, не имеющий экономической интерпретации (лишь математическую); b – коэф-т регрессии, показывает среднее изменение результата при изменении фактора на 1 единицу. Коэф-т детерминации показывает…

Построение регрессионной модели включает следующие основные этапы:

1. Определение цели исследования;

2. Оценка однородности исходных данных;

3. Выбор формы связи между результатом и признаком;

4. Определение параметров модели (a&b);

5. Оценка тесноты связи;

6. Определение показателей эластичности;

7. Проверка качества построенной модели.

Вначале оценим однородность исходных данных. Для этого рассчитаем коэф-т вариации. =12,99/81*100%=16,0%

Построим уравнение регрессии. Найдём параметры а и b парной линейной регрессии. Для этого используем метод наименьших квадратов (НМК). Исходным условием для нмк является то, что нужно подобрать такую прямую у=а+bx, которая отражает минимальную сумму квадратов отклонений фактических значений результативной переменной от её теоретических значений, получаемых на основе уравнения регрессии. min

уi- фактические значения результативного признака y^i – теоретические значения.

f(a,b)=∑(yi-(a+bx))²max

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров и приравнять их к 0.

Получаем систему нормальных уравнений.

у=а+bх

b= = r_xy*

a=

Вернёмся к нашему примеру.

b=(0,92*0,97)/12,99=0,069

а=3,75-0,069*81=-1,83

запишем теоретическое уравнение:

у^=-1,83+0,069х.

Коэф-т корреляции и параметр b должны быть одного знака, т.к. они показывают направление связи.

Коэф-т регрессии b показывает, что с ростом накопленных за семестр баллов на одну единицу оценка за экзамен увеличивается на 0,069 от своего среднего значения.

Направление связи между результатом и фактором определяется знаком коэф-та регрессии. В отличие от коэф-та корреляции коэф-т регрессии b является асимметрической хар-кой связи, т.к. показывает зависимость изменения у от х.

Коэффициент эластичности

Для оценки влияния фактора на результативный признак вычисляют коэф-т эластичности. Средний коэф-т эластичности для парной линейной регрессии будет рассчитываться по формуле

Единицы измерения этого коэф-та - % (но умножать на 100 не нужно).

Он показывает, на сколько % в среднем изменяется результативный признак от своего среднего значения при изменении среднего факторного признака на 1%.

0,069*(81/3,75)=14,9%

Значит, что при увеличении накопленных за семестр баллов на 1% от своего среднего значения оценка за экзамен увеличивается на 14,9%.

Проверка качества построенной модели.

Для оценки качества построенной модели, рассчитаем теоретические значения экзаменационной оценки для каждого студента. Подставляем в y^=-1,83+0,069*58=2,172