39. Понятие интервальной оценки параметров распред. Доверит. Интервал для неизвестного мат. Ожидания.

Опр. Интервальной оценкой параметра θ наз. числовой интервал , кот. с заданной вероятностью ү накрывает неизвестное значение параметра θ.

Границы интервала , и его величина находятся по выборочным данным и потому явл-ся случайными величинами в отличии от оцениваемого параметра θ величины не случайной, поэтому правильнее говорить о том, что интервал , “накрывает”, а не ”содержит” значение θ.

Такой интервал , наз-ся доверительным, а вероятность ү- доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки.

5. Совместные и несовместные события. Теорема слож-ия вер-тей.

Два события А и В наз-ся совместными, если наступление 1-го из них не искл. наступления 2-го. Несовместные - наступление 1-го из них искл. наступление 2-го.

Теорема: Вер-ть суммы 2-х событий равна сумме вер-тей этих событий без вер-ти их совместного наступления. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).

Док-во: Пусть n – число возможных исходов испытания по воспроизведению событий А и В, т – число исходов, благоприятствующих событию А, k – число исходов, благоприятств. событию В, а l – число исходов опыта, при кот. происходят оба события (т.е. исходов, благоприятств. произведению АВ). Тогда ;

A+B (благоприятствует) m+k-l

Теорема: Вер-ть суммы несовместных событий равна сумме вер-тей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B)

Док-во: т.к. А и В несовмест. P(A*B)=0

P(A+B)=P(A)+P(B)+0 - основываясь на предыд. док-во.

7.Полная группа событий. Формула полной вероятности.

События А_1,А_2,А_3…А_n образуют полную группу событий, если они явл. единственно возможными и взаимно несовместными (игр. кость). Два события, образ-щие полную группу наз-ся противоположными.

Рассмотрим события Н_1,Н_2,…Н_n, образующие полную группу событий. Некоторое событие А может наступить с одним из этих событий. Тогда А=А Н₁+…+А Н_n. Эти события несовместны, т.к. Н_1,Н_2,…Н_n образуют полную группу событий.

По формуле сложения вер-тей:

или ;

Задачи решаемые по полной вер-ти и Байеса наглядно можно представить на основе графсхемы типа дерево, кот. имеет одну корневую и несколько концевых вершин, соединенных м/у собой ребрами.

6. Зависимые и независ. События. Теорема умножения вер-тей.

Два события А и В наз-ся зависимыми, если вер-ть наступления 1-го из них зависит от наступления др события. В противном случае события независимы.

Теорема: Вер-ть произведения 2-х событий равно произведению вероятности 1-го из них на условную вер-ть др. Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Док-во: n – число возможных исходов эксперимента по воспроизведению событий А и В, т – число исходов, благоприятств. событию А, k – число исходов, благоприятств. событию В, а l – число исходов опыта, при кот/ происходят оба события (т.е. исходов, благоприятных произведению АВ).

Аналогично для др.

Теорема: Вер-ть произведения для независим. событий равна произведению вер-тей этих событий.

Док-во: т.к. А и В – независим., то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B)

Исходя из предыд. теоремы: .