8,Задача линейного програмит-я. Методы её решения.

Имеем n-управляющих переменных: х1, х2,…, хn. Есть целевая функция: F=c1x1+c2x2+…+cnxn стремится к max (min). Треб-ся найти её max (min), если переменные с1…сn удовлетв-т линейным ограничениям:

а11х1+а12х2+…а1nxn>=b1

а21х1+а22х2+…а2nxn>=b2

…………

аk1х1+аk2х2+…аknxn<=bk

……..

аp1х1+аp2х2+…аpnxn=bp

Если все огр-я имеют вид нерав-в, то их геометрич. смысл закл-ся в пересечении полуплоскостей (n=2), полупространств(n=3), полугиперпр-в (n>3) и образовании ОДР – многогранник. Сущ-ет 2 теоремы для задач ЛП. Т1: ОДР – выпуклое множ-во (если оно вместе с 2я точками сод-т отрезок, их соединяющих). Точка наз-ся крайней, если в обл-ти нет точек, м-у кот-ми она лежит. Т2: Если ЗЛП имеет оптимальн реш-е, то линейн. ф-я принимает max (min) зн-е в 1й из крайних точек ОДР. Если max (min) достиг-ся > чем в 1й крайней точке, то он ддостиг-ся в любой точке, явл-ся их выпуклой линейной комбинацией. (n=3, реш-е > чем в 1й точке, то реш-м явл-ся точка, ребро или грань).

1)Графич.метод: исп-ся только в том случ-е, когда число переменных n=2. Алгоритм решеня: А) в осях ХОУ построить обл-ть допустимых решений (ОДР), т.е. построить все линии из ограничений и найти обл-ть их пересечения. Б) Построить линии уровня целевой ф-ии(F=0, F=1,F=4,..). В) Двигаем линию ур-я целев. Ф-ии в нухном напр-ии к max (min) пока есть хотя бы 1а общая точка с ОДР. Координаты точки = значению F. Возможные ситуации: А) ОДР – пустое множ-во, решений нет. Б) ОДР – точка, допустимое реш-е единственное и оптимальное. В) ОДР – неогр-е множ-во, в завис-ти от max (min) либо оптимальн. реш-я нет, либо оно есть. Г) решением м.быть те точка, а отрезок, когда линия F совпадает с гранью, оптмальн. Реш-й бесконечно много, х принадлежит интервалу.

2) Переборный метод: по Т2 необход. перебрать все вершины. Коорд-ы кажд. Вершины подставляем вцедевую ф-ю, вычисляем знач-я и выбираем ту, в кот F принимает max (min). А) n=2: будем перебирать по 2е прямые из ограничений различными способами и считать для них, получ. Коорд. Вершины подставляем в остальн. огр-я. Если удовлетворяет всем, то это вершина. Из всех вершин выбираем ту, в кот F max (min). Б) n=3: выбираем по 3 ур-я, … В) n неизвестных: решаем методом Гаусса.

3) Симплекс метод: вершины перебир-ся не произвольно, а так, что кажд. следующ. вершина улучшает знач-е целевой ф-ии. Стандартный вид: 1) все огр-я записны в виде рав=в; 2) правые части рав-в >=0; 3) переменные >=0; 4) F к min. Канонич.вид: 5) в кажд. ур-ии есть переменная, кот. присутсв. только в этом ур-ии с коэф. +1, в др. ур-х её нет. Одноэтапный СМ: для канонич вида. 1) Строим таблицу, 2) выбираем min эл-т и з F – ведущ столбец. 3) выбираем ведущ. строку с пом-ю сравнения отношений правых частей рав-в к эл-м ведущ столбца, из >0 выбираем min, получаем ведущ строку. 4) Эл-ты столбика кроме ведущего превращаем в 0. Далее с (1) пока все коэф-ты F не станут >=0. Двухэтапн. СМ для неканонич. вида: 1) приводим ЗЛП к канонич виду, т.е. решаем вспомогат задачу СМ. F’=(b1+b2+…+bm)+(a11+a21+…+am1)x1+(a12+a22+a32+…+am2)x2…+(a1n+a2n+…+amn)xn. 2) Решени получ задачи СМ.

9. Транспортная задача. Методы решения. Это ЗЛП, кот. м. реш-ть СМ, переборн. методом, но сущ-т спец. методы, кот появились раньше и легли в основу СМ. Имеем m-поставщиков и n-потребителей продукции. Мощности поставщиков задаются вектором (А1,А2,…,Аn), заказ потребителей-(В1,В2,…,Вm). Есть матрица перевозок: Сij-стоимость перевозки еденицы продукции от iго поставщика к jму потребителю.

С11 С12 …С1n

C21 C22 … C2n

………..

Cm1 Cm2 … Cmn

Надо составить план перевозок так, чтобы удовлетв заказ потребителя и чтобы суммарн. стоимость перевозок была min. Неизвестны будут перевозки хij- кол-во продукции кот перевозится от iго поставщика к jму потребителю (матрица).

Сбалансир ТЗ: , n+m-1.

Несбалансир ТЗ:

в матрицу перевозок вводят доп столбец с нулевыми поставщиком или потребителем. Метод потенциала: получают начальн план перевозок и пытабтся его улучьшить. 1) строим нач план методом Северо-Зап угла. 2) Вычисляем косвенные затраты для заполненных клеток Ui+Vj=Cij, отсюда находим Ui и Vj. 3) для своб-х. клеток вычисляем . 4) План неоптимален, если какое-то (Если все -оптимальн решение, прекращаем решение.) 5) Выбираем max «+» реш-е из и строим цикл перераспределения с этой клетки (ставим в ней «+»). 6) Вычёркиваем строки и столбцы с 1й заполненной клеткой, помеченный «+» не вычёркивать. 7) Идя по заполненным клеткам начиная с отмеченной ставим в них «+» и «-» чередуя. Из «-» клеток выбираем min значение и к «+» клеткам его прибавляем, а из «-» его вычитаем. 8) Подсчитываем стоимость перевозок до и после (должна уменьшится). 9) далее к п.2. Очень редко применяется симплекс метод, т.к. очень трудоемкое вычисление. Вершины перебир-ся не произвольно, а так, что кажд. следующ. вершина улучшает знач-е целевой ф-ии. Стандартный вид: 1) все огр-я записны в виде рав=в; 2) правые части рав-в >=0; 3) переменные >=0; 4) F к min. Канонич.вид: 5) в кажд. ур-ии есть переменная, кот. присутсв. только в этом ур-ии с коэф. +1, в др. ур-х её нет. Одноэтапный СМ: для канонич вида. 1) Строим таблицу, 2) выбираем min эл-т и з F – ведущ столбец. 3) выбираем ведущ. строку с пом-ю сравнения отношений правых частей рав-в к эл-м ведущ столбца, из >0 выбираем min, получаем ведущ строку. 4) Эл-ты столбика кроме ведущего превращаем в 0. Далее с (1) пока все коэф-ты F не станут >=0. Двухэтапн. СМ для неканонич. вида: 1) приводим ЗЛП к канонич виду, т.е. решаем вспомогат задачу СМ. F’=(b1+b2+…+bm)+(a11+a21+…+am1)x1+(a12+a22+a32+…+am2)x2…+(a1n+a2n+…+amn)xn. 2) Решени получ задачи СМ.