31. Вычисл-е определ-го интеграла по одной из фор-л. Алг-м реализ-ии на эвм выбранной формулы.

Форм-лы для приближ-го вычисл-я интегралов примен-ся очень часто. Дело в том, что для большого числа элементар ф-ий первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определённый интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница:

Встречаются также случаи, когда приходится прибегать к формулам приближённого интегрирования из-за того, что функции заданы таблицей или графиком.

Наиболее простой формулой для численного интегрирования является формула прямоугольников. Формула прямоугольников, собственно, есть не что иное, как интегральная сумма, составленная с учётом некоторых дополнительных предположений, причём совершенно естественных.

Пусть требуется вычислить интеграл Разобьем участок интегрирования [a,b] на n равных частей и поместим точки, значения функции в которых входят в интегральную сумму, в левых концах полученных участков. Если считать, что n достаточно велико, т.е. длина участков разбиения

достаточно мала, то интегральная сумма должна уже мало отличаться от величины интеграла. Таким образом, мы получаем приближённое равенство (форм.1):

которое и является формулой прямоугольников. Здесь через y₀, y₁,…, y_n обозначены значения функции y = f(x) в точках деления x₀, x₁,…, x_n .

Аналогичная формула прямоугольников получится и в том случае, если брать для интегральной суммы значение функции не в левых, а в правых концах участков разбиения. Тогда формула примет вид (форм. 2):

Для функции, монотонной на отрезке интегрирования, всякая интегральная сумма, а значит, и определённый интеграл заключены между приближёнными значениями, указанными в правых частях формул 1 и 2. Геометрическую иллюстрацию этого факта можно видеть на рисунке:

Слагаемые, входящие в различные суммы, показаны пунктиров и штриховкой. Благодаря этому представление о погрешностях формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам 1 и 2.

Если функция имеет на отрезке интегрирования конечное число экстремумов, то отрезки интегрирования можно разбить на участки монотонности и получить, таким образом, оценку погрешности формулы прямоугольников.

Алг-тм:

1) вв. a, b, и n, f(x);

2) ; I:=0; - знач-е интеграла

3) пока a<=x<=b повторять (формула левых прямоуголь-ков)

I:=I+h*f(x);

x:=x+h;конец цикла

4) вывести зн-е I.

32,Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: постановка задачи, один из методов решения (Эйлера, Рунге-Кутта). Алгоритм для реализации на ЭВМ выбранного метода.

Простейшее диф Ур-ние: (1)

Решением Ур (1) назыв такая фор-ла , (x=x₀, y=y₀)- начальные условия.

Задача нахождения ф-и есть задача Коши

Однако не смотря на это методы нахождения найти ее не всегда удается. Поэтому возникает необходимость в знакомстве с методами кот позвол найти прбл-ое решение Ур-я(1). Это прибл реш-е м быть выражено в разл формах и в зависим от этого часто условно прибл методы м выразить 3 вариантами:

1)аналитич-ие методы кот позвол представить приближен реш-е диф урав-я в виде некот аналитич выражения

2)графич прибл методы, кот-е позвол выразить реш-е дифф урав-я в виде графика.

Численные методы, кот позвол выраз реш-е диф Ур-я в виде талицы численно прибл значений фун-ии

Метод Рунге-Кутта:

Много общего с методом Эйлера.

, где x=x₀,y=y₀. [a,b];h