1.3.5. Линейное уравнение.

Уравнение

,                                       (13)

где   - непрерывные функции от   на интервале  , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция   и ее производная входят в это уравнение в первой степени - линейно.

Если  , то уравнение

                                                         (14)

называется линейным однородным, а в связи с этим уравнение (13) называют линейным неоднородным.

Однородное линейное уравнение имеет решение  . Оно является уравнением с разделяющимися перемевными:

                                              (15)

Если в (15) разрешить постоянной   принимать нулевое значение, то формула (15) дает и решение  .

Формула (15) показывает, что график решения линейного однородного уравнения лежит выше оси  , если  , или ниже оси  , если  .

Мы пришли к формуле (15) по следующей схеме. Мы предположили, что функция   есть решение дифференциального уравнения (14), отличное от нуля всюду на  , и пришли к тому, что оно определяется формулой (15) при некотором  . Надо иметь в виду, что интеграл   обозначает некоторую первообразную функцию от   на интервале  , поэтому и решение, даваемое формулой (15), определено на  . Легко проверить, что функции (15) при любом  , в том числе и при  , суть решения дифференциального уравнения (14).

Остается выяснить вопрос о существовании решений вашего дифференциального уравнения, пересекающих ось  . Для этого можно воспользоваться теоремой 1 § 1.2. Разрешая (15) относительно  , получим

.

Легко проверяется, что правая часть этого равенства есть функция от  , имеющая непрерывные частные производные на полосе  , и тот факт, что если продифференцировать это равенство по  , считая, что  , то получим дифференциальное уравнение (14). Тогда по теореме 1 § 1.2 формула (15) содержит все решения уравнения (14). Таким образок, линейное уравнение (14) не имеет решений, пересекающих ось  .

Уравнение (13) обычно решают методом Бернулли, который заключается в следующем. Будем искать решение в виде произведения двух функций

.

Имеем  . Подставляя значения   и   в (13), получим   или  .

Подберем функцию   так, чтобы  . Относительно   имеем линейное однородное уравнение, следовательно, по формуле (15) можем положить  . При такой функции   получаем  , откуда

Следовательно, общее, т. е. какое угодно, решение уравнения (13) запишется в виде

,                                (16)

где   - произвольная постоянная.

Входящие в формулу (16) интегралы обозначают произвольные, но выбранные определенно первообразные от подынтегральных функций. Удобно эти первообразные взять в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом   и нижним фиксированным пределом  , принадлежащим  .

Тогда формула (16) примет вид

.                      (16')

Если потребовать, чтобы при  решение обратилось в  , то, очевидно, получим  .

Следовательно, решение задачи Коши   для дифференциального уравнения (13) дается формулой

         (16'')

Формула (16) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (получающегося из (16) при  ).

Мы рекомендуем не применять формально формулу (16), а в каждом примере повторять все выкладки.

Примерб. Решить уравнение .

Здесь  . Положим

Интегрируя по частям, находим, что

.

Замечание. Уравнение (13) можно решать также методом вариации произвольной постоянной. Если   — постоянная, то формула (15) дает решение однородного уравнения. Будем считать   - функцией от   и подберем ее так, чтобы выражение   было решением (13). Но это тот же метод Бернулли при  .