- •11.2. Свойства определённого интеграла.
- •11.3. Вычисление определённого интеграла.
- •§43. Функции двух переменных
- •1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
- •1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка.
- •1.2.3. Задача Коши.
- •1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
- •1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.
- •1.2.6. Поле направлений.
- •§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы.
- •1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.
- •1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.3.4. Однородные уравнения.
- •1.3.5. Линейное уравнение.
- •27.1. Основные понятия
- •27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
- •27.3. Формы записи комплексных чисел
- •28.1. Сложение комплексных чисел
- •28.2 Вычитание комплексных чисел
- •28.3 Умножение комплексных чисел
- •28.4. Деление комплексных чисел
- •28.5. Извлечение корней из комплексных чисел
- •3.1.3. Полярная система координат.
27.1. Основные понятия
Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i2=-1.
Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. RÌС.
Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=х2+iy2 называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х1=х2, y1=у2. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.
Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).
27.3. Формы записи комплексных чисел
Запись числа z в виде z=х+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r=ОМ, изображающего комплексное числоz=х+iy (см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ. Следовательно, комплексное число z=х+iy можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или z=r(cosφ+isinφ).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.
Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле
Например, |i|=Ö(02+12)=1. Аргумент φ определяется из формул
Так как
φ=Argz=argz+2kπ,
то
cosφ=cos(argz+2kπ)=cos(argz), sinφ=sin(argz).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.
Так как -π<argz≤ π, то из формулы tgφ=у/х получаем,что
Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz1=0 для z1=2; argz2=π
для z2=-3; arg z3=p/2 для z3=i и arg z4=-p/2 для z4=-8i.
Используя формулу Эйлера
еiφ=cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rеiφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp (k=0,-1,1,-2,2...).
В силу формулы Эйлера, функция еiφ периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.
Пример 27.1
Записать комплексные числа z1=-1+i и z2=-1в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для z1 имеем
т. е. φ=3p/4.
Поэтому
Для z2 имеем
т. е. j=p. Поэтому -1=cosπ+isinπ=еiπ.