1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка.

Мы начнем с изучения дифференциального уравнения первого порядка

.                                       (2)

Как правило, мы будем предполагать, что функция   задана на некоторой области трехмерного пространства   и непрерывна на   вместе со своими частными производными   и  . В частности,   может быть всем трехмерным пространством точек  .

Напомним, что решением или частным решением дифференциального уравнения (2) мы называем любую действительную непрерывно дифференцируемую функцию  , заданную на некотором интервале  , которая удовлетворяет этому уравнению:

.

При этом каждое решение имеет, вообще говоря, свой интервал, где оно задано.

Два алгебраических уравнения

                                            (3)

называются эквивалентными на области   точек  , если из того, что точка   удовлетворяет одному из этих уравнений, следует, что она удовлетворяет и другому.

Соответственна два дифференциальных уравнения

называются эквивалентными на  , если эквивалентны на   алгебраические уравнения (3).

Таким образом, в этом случае решение  , одного из дифференциальных уравнений автоматически есть решение другого.

Впрочем, эквивалентные на области   дифференциальные уравнения считаются за одно и то же уравнение.

При преобразовании дифференциального уравнения надо следить, чтобы получаемое после преобразования новое дифференциальное уравнение было эквивалентным (на  ) прежнему. Или уж, во всяком случае, надо замечать, какие из решений могут исчезнуть или прибавиться после преобразования.

1.2.3. Задача Коши.

Отметим задачу, называемую задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Она гласит: требуется найти решение   данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

,

где   - заданная точка плоскости  .

Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение.

Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт, который будет доказан в § 1.6: для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно   форме

задача Коши имеет решение и притом единственное для любой точки   области   плоскости  , если заданная на этой области функция   непрерывна вместе со своей частной производной  .

Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если   и   суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию  , заданные соответственно на интервалах   и  , то   на пересечении этих интервалов.

1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1. Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

,                                         (4)

где   - непрерывная на некотором интервале   функция.

Из теории неопределенного интеграла следует, что любое решение этого дифференциального уравнения может быть записано следующим образом:

,

где справа в качестве первого слагаемого стоит неопределенный интеграл от  , т. е. некоторая первообразная функция от   на  :

а в качестве второго слагаемого - произвольная постоянная  .

Итак, любое решение дифференциального уравнения (4) определяется равенством

,                                     (5)

где   _ некоторая первообразная от   на  , а   произвольная постоянная - параметр семейства решений.

Каждому значению параметра   соответствует отдельное (частное) решение дифференциального уравнения (4), и при этом любое решение этого уравнения может быть получено как частное решение семейства (5) при соответствующем значении  .

Если равенство (5) продифференцировать по  , то получим исходное дифференциальное уравнение (4). Благодаря этому свойству равенство (5), содержащее в себе произвольную постоянную  , называют общим интегралом дифференциального уравнения (4). Задача Коши для дифференциального уравнения (4) решается и притом единственным образом при начальном условии  , где   — любая точка из полосы   плоскости  . Чтобы решить ее, подставляем в общий интеграл (5) точку   и находим постоянную  :

.

Отсюда получаем

Это и есть решение (интегральная кривая) нашего дифференциального уравнения (4), проходящее через точку   (рис.1).

Рис.1

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

,                                    (6)

где   - заданная постоянная. Легко проверить, что функция

                                    (7)

при любом значении параметра   есть решение дифференциального уравнения (6). Мы не будем сейчас объяснять, как к этому семейству решений, зависящему от произвольной постоянной  , можно логически прийти (см. далее § 1.3).

Продифференцируем равенство (7) по  :

.                                          (8)

Теперь исключим параметр   из обоих равенств (7) и (8), т. е. найдем   из одного из них и подставим в другое. Получим, очевидно, опять исходное дифференциальное уравнение (6).

В силу этого свойства равенство (7) называют общим интегралом дифференциального уравнения (6).