1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.

Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, если

Оно имеет вид

.                                                                              (4)

Далее будем считать, что  и   - непрерывные функции. Пусть   есть решение дифференциального уравнения (4) в прямоугольнике

,

определенное на некотором интервале  .

Тогда имеет место тождество

,

откуда, интегрируя, получим

.

Здесь интегралы   и   суть некоторые выбранные нами первообразные от   и  :

во втором равенстве произведена замена переменной   в  неопределенном интеграле (см. вашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.2); константа   зависит от решения  .

Итак, любое решение   нашего дифференциального уравнения в указанном прямоугольнике удовлетворяет уравнению

 при некоторой постоянной   или уравнению

.                                                                               (5)

Левая часть равенства (5) есть функция  , непрерывно дифференцируемая на прямоугольнике

,

со свойствами

.

Если продифференцировать формально (5) по  , считая, что  , то получим

,

т. е. исходное дифференциальное уравнение (4).

Таким образом,  равенство (5) есть общий интеграл дифференциального уравнения (4) для его решений вид  . Согласно теореме 1 §1.2 все непрерывно дифференцируемые на   решения   уравнения (5) при любых постоянных   являются решениями дифференциального уравнения (4) вида   и обратно. Впрочем, обратное утверждение мы доказали непосредственно.

Рассуждая аналогично, меняя местами роль   и  , мы снова получим равенство (5), но только теперь это будет общий интеграл, содержащий всевозможные решения вида  , нашего дифференциального уравнения (4).

Таким образом, равенство (5) будет общим интегралом дифференциального уравнения (4) как для решений вида  , так и для решений вида  .

Пример 1.  .

 - общий интеграл.

Пример 2. .

Эти интегралы нельзя выразить в элементарных функциях. Все же мы считаем задачу, с точки зрения теории дифференциальных уравнений, решенной.

1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Если  , то уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными:

                                (6)

Для тех   для которых  , разделим на это произведение левую и правую части (6). Тогда получим уравнение с разделенными переменными

.

Общий интеграл этого уравнения находится, как в 1.3.2. Но могут быть еще решения, проходящие через точки   удовлетворяющие уравнению  .

1.3.4. Однородные уравнения.

Функция   называется однородной степени  , если для любых    и  полняется равенство

.

Если функции  и   однородные одной и той же степени  , то дифференциальное уравнение

                                                   (7)

называется однородным.

Его можно преобразовать следующим образом

,

т.е.

,                                                    (8)

где   - некоторая функция от одного переменного.

Введем вместо   новую функцию   (от  ) при помощи подстановки

.

Тогда

или

Следовательно,

или

где   - произвольная постоянная.

Отметим более общее уравнение, чем (8):

.                                                                               (9)

Его можно решить подстановкой

;

тогда

                       (10)

где   - произвольная постоянная.

Пример 3.  .

Данное уравнение является однородным, так как функции

однородные степени  . Сделаем замену  . Тогда уравнение перепишется так:

или

.

Разделяя переменные, полдучаем

.

Так как у нас  , то

.

Пример 4.

,                                                                         (11)

.

Это уравнение есть частный случай (9), если

.                                                                                       (12)

Уравнение (11) при   и   (условие (12) выполнено) имеет вид

,

и его решение записывается по формуле (10), где

.

Полученное уравнение есть частный случай уравнения Риккати

,

которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при   уравнение Риккати решается в квадратурах. Отметим, что при   уравнение Риккати является уравнением с разделяющимися переменными.

Если   и   (  - целое), то подстановка

приводит уравнение Риккати к виду

Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю  .

Если же  , то подстановка

приводит уравнение к виду

Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Риккати к случаю  .

Во всех других случаях уравнение Риккати не решается в квадратурах.

Пример 5.  .

Имеем

.

Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при  .