3 7.Вычисление оригиналов по известному изображению

 Применение теоремы умножения.

Пример 1. .

Решение. Пусть

,

где , а .

По таблице определяем оригиналы функций F(р) и Ф(р):

,

.

Искомый оригинал определяем как свертку оригиналов f (t) и (t)

.

2. Применение формулы Дюамеля. Если функция-оригинал f (t) непрерывна на [0,+ ), а функция-оригинал (t) непрерывно дифференцируема на [0, ) и

, ,

то

.

Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала

.

Это – так называемая формула Дюамеля.

Применение второй теоремы разложения. Вторая теорема разложения утверждает, что при определенных условиях на F(p) оригиналом для F(p) служит функция

,

где сумма вычетов берется по всем особым точкам р_k функции F(p).

В частности, если

правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит функция

, (1)

где р_k – полюсы F(p) кратности n_k и сумма берется по всем полюсам F(p).