16. Теорема о движении центра масс

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала данной системы координат характеризуется радиус-вектором , определяемым как , (2.10)

где – масса и радиус-вектор -й частицы, – масса всей системы, – полное число частиц в системе. Если взять производную по времени от обеих частей уравнения и умножить обе части на , то получится:

или ,

где – скорость движения центра масс системы. Таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

Подставив это выражение в (2.9), получим: . (2.11)

Отсюда следует, что центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс системы материальных точек. Уравнение (2.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Если система замкнута, то и уравнение (2.11) переходит в , следовательно, . Таким образом, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно или покоится.

17. Движение тела переменной массы.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени масса ракеты , а её скорость , то по истечении времени ее масса уменьшится на и станет равной , а скорость станет равной . Изменение импульса системы за отрезок времени .

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными).

Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому или (1)

Второе слагаемое в правой части называют реактивной силон . Если про­тивоположен по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное Иваном Мещерским в 1904 году. Оно имеет вид:

,

где:

m — переменная масса тела;v — скорость движения тела переменной массы;F — внешние силы (сопротивление среды и т. п.);u1 — относительная скорость отделяющихся частиц; u2 — относительная скорость присоединяющихся частиц; — секундный расход массы; — секундный приход массы.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.