47.Кинетическая энергия твердого тела при вращении

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить: , (6.4.1)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i-й точки , Ri – расстояние до оси вращения. Следовательно, , (6.4.2)

Сопоставив (6.4.1) и (6.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью vc и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела ,

Здесь Ic – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

48.Кинематика гармонических колебании.

Колебание – повторяющийся процесс изменения некоторой физической величины около ее среднего значения.В механических колебаниях речь идет об описании изменения во времени отклонения тела от положения равновесия.

Форма колебаний может быть разной. Выделяют непериодические, периодические и гармонические колебания

Гармоническими называются колебания, при которых описываемая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение кинематики гармонических колебаний имеет следующий вид:

x = A·cos(2p·t/T + f0), 9.1

где х - колеблющаяся величина,

t - время;

А, Т, f - константы для данного колебания, называемые параметрами.

Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний.

Постоянные величины А, Т, f, входящие в уравнение (9.1), называются параметрами колебания. Рассмотрим их физический смысл.

Из (9.1) следует, что в случае, если соs(2p·t/Т + f) = ± 1, то значение модуля x максимально, т.е. |x| = xmax = A. Величину А, равную наибольшему значению колеблющейся физической величины, назовем амплитудой колебания.

В случае изменения времени на величину, кратную T, аргумент функции косинус изменится на величину, кратную 2p, а х и ее производная примут первоначальные значения:

x(t) = x(t + n·T), u(t) = u(t + n·T)

где Т - период, минимальное время, по истечение которого процесс колебаний полностью повторяется

n - целое число.

Мгновенное значение физической величины х определяется значением аргумента функции косинус, который называется фазой колебаний:

Ф = w·t + f0.

Рис. 9.2. Зависимость фазы гармонических колебаний от времени.

Рис. 9.3.

Фаза колебаний Ф линейно растет со временем (см. рис. 9.2). При t = 0 значение Ф равняется f0, которое называется начальной фазой колебания. Начальную фазу можно рассчитать, исходя из значения физической величины в начальный момент времени и известной амплитуды колебаний:

х(0) = х0 = А·cos f0; cos f0 = х0/A.

Следовательно, f0 зависит от выбора начала отсчета времени.

Например, если для колебаний, описываемых уравнением (9.1), x(0) = х0 = 0, то f0 = p/2, если

x(0) = х0 = А, то f0 = 0.

В случае, если амплитуда колебаний не известна, то для нахождения начальной фазы и амплитуды колебаний кроме начального смещения необходимо знать начальное значение скорости колеблющегося тела.

Рис. 9.4.

Колебания, происходящие со сдвигом фаз p, называются антифазными. Имеется некоторая неопределенность в отставании и опережении на p. Нельзя сказать, которое из колебание отстает, т. к. математически эти утверждения эквивалентны. Рассмотрим случай, когда х2 отстает от х1 больше, чем на p (см. рис. 9.4). Сдвиг по фазе Ф1 - Ф2 = p + Df' характеризует отставание 2-го колебания от 1-го. Из графика видно, что такое отставание эквивалентно опережению 2-м колебанием 1-го на угол Ф2 - Ф1 = p - Df'. Такой же результат получим и математически, исходя из тригонометрического равенства:

sin(p + Df) = sin(p - Df).

Чтобы не было этой неопределенности, условились сдвиг фаз задавать в диапазоне от 0 до p.

Влияние параметров колебаний на их вид вы можете наблюдать на графиках, которые построите самостоятельно.

Кинематические характеристики гармонических колебаний. Найдем скорость и ускорение при колебательном движении, описываемого уравнением:

x = A·cos(w·t + f0).

Поскольку скорость u - есть производная от координаты по времени, а ускорение a - соответствующая производная от скорости, то эти величины зависят от времени также по гармоническим законам:

u = A·w·cos(w·t + f0);

a = - A·w2·sin(w·t + f0) = - w2·x. (9.3)

Выполнение соотношения (9.3) является характерным признаком гармонического колебательного движения. Для такого движения скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение - на p.