- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
- •28. Правило Лопиталя.
- •29. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
- •34. Достаточные условия экстремума дифференцируемой функции.
- •35. Выпуклость и вогнутость. Критерий для функций общего вида.
- •36. Выпуклость и вогнутость. Критерии для дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций. Взаимное расположение графиков и касательных.
- •37. Точки перегиба. Критерий. Касательная в точке перегиба.
- •38. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
34. Достаточные условия экстремума дифференцируемой функции.
Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции.
Если f ’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) иf ’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0– точка максимумаf(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0– точка минимума.
Доказательство:
Теорема:Второй достаточный признак максимума функции.
Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и:
1). f ’(x0)=0 2).f “(x0)<0
то х0точка максимума (аналогично, еслиf “(x0)>0, то х0– точка минимума)
Док-во:Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка дляхиз данной окрестности.
Достаточное условие экстремума:
Непрерывная функция f(x) дифференцируема в δ-окрестности. Если при переходе черезx0(слева направо) производнаяf Iменяет знак с + на – , тоx0–есть точкаmax, если с – на +, тоx0– точкаmin.
Исследовать функцию на экстремум это значит:
Найти критические точки функции y=f(x) (для этого находитсяyIи решается уравнениеyI=0)
Исследовать знак производной f Iслева и справа от каждой из выбранных критических точек.
В соответствии с достаточным условием экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
35. Выпуклость и вогнутость. Критерий для функций общего вида.
Опр.Мн-во М на пл-ти назыв-ся выпуклым если вместе с любыми 2-мя точками она содержит соединяющий их отрезок.
Опр. График функцииy=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.
λx+μy=z
λ,μ>0
λ+μ=1
Опр. Пусть ф-ция f(x) опр-на на (а,b)
Надграф-м ф-ции f(x) на (a,b) назыв-ся мн-во {(x,y):x(a,b),y≥f(x)}
Опр. Ф-ция f(x) назыв-ся выпуклой на (a,b) если её надграфик явл-ся выпуклым мн-вом.
Ф-ция f(x) назыв-ся вогнутой на (a,b) если её надграфик явл-ся вогнутым мн-вом.
Прямая-линейная ф-ция явл-ся выпуклой и вогнутой.
Th. Для того, чтобыf(x) была выпукла наx,y(a,b)
λ,μ≥0: λ+μ=1
f(λx+μy)λf(x)+μf(y)
I. Выпуклая
z=λx+μy
zAzB
zA=f(λx+μy)
zB=λf(x)+μf(y)
II. Выполняется нерав-во
z=λx+μy
zAzB
zAzC
zAzBzC
С принадл. надграф. F
Для вогн-ти надо, чтобы вып-сь обр-е нерав-во.
36. Выпуклость и вогнутость. Критерии для дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций. Взаимное расположение графиков и касательных.
Th. Для того чтобы диф-аяf(x) на (a,b) была вып-й необх. и дост.x,y(a,b) вып-сь нерав-воf(y)≥f(x)+f ’(x)(y-x)
f(λx+μy)λf(x)+μf(y)
x<y
λx+μy=x+∆x
∆x=λx+μy-x=μy+x(λ-1)= μ(y-x)
λ+μ=1
f(x+∆x)-f(x) λf(x)+μf(y)-f(x)=μ[f(y)-f(x)]
∆x→0
Для x>yдоказ-ся ан-но.
λ,μ≥0: λ+μ=1
z=λx+μy
1) y:=x;x:=z
f(x)≥f(z)+f ’(z)(x-z)
2) y:=y;x:=z
f(y)≥f(z)+f ’(z)(y-z)
x-z=x-λx-μy=μ(y-x)
y-z=y-λx-μy=-λx+λy=λ(y-x)
f(y)≥f(z)+f ’(z)(x-z)
f(x)≥f(z)+f ’(z)μ(x-y) /*λ
f(y)≥f(z)+f ’(z)λ(y-x) /*μ
μf(y)+λf(x)≥μf(z)+λf(z)=f(z)=f(λx+μy)
f(λx+μy)μf(y)+λf(x)
Th. Для того чтобы дифф-я ф-ция была выпукла (вогнута) на инт. (a,b) необх. и дост., чтобы вып-сь усл-е не убыв-е (не возр-е) произв.f ’(x)↑ (f ’(x)↓)
I. Пусть ф-ция вып-а,x<y
f(y)≥f(x)+f ’(x)(y-x)
f(y)-f(x)≥f ’(x)(y-x) /:(y-x)
f(x)≥f(y)+f ’(y)(x-y)
f(x)-f(y)≥f ’(y)(x-y)
Пусть f ’(x)↑, y>x
f(y)-f(x)≥f ’(c)(y-x)≥f ’(x)(y-x)
f(y)≥f(x)+f ’(x)(y-x)
Пусть y<x
f(x)-f(y)f ’(c)(x-y)f ’(x)(x-y)
f(x)-f(y)f ’(x)(x-y)
f(y)-f(x)≥f ’(x)(y-x)
Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.
Если функция f(x) дважды дифференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн.f ’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функцииy=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).
Уравнение касательной:
Возьмем X=x.Из первого вычтем второе
Поэтому y>Yследовательно график функции расположен выше касательной
Аналогично, если f ’’(x)<0 на (a,b) то график функцииy=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале.
Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если приa<x<bдуга располагается ниже касательной проведенной в любой точке (a;b).
Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на (a;b), если приa<x<b, дуга располагается выше касательной проведенной в любой точке (a;b).