- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
- •28. Правило Лопиталя.
- •29. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
- •34. Достаточные условия экстремума дифференцируемой функции.
- •35. Выпуклость и вогнутость. Критерий для функций общего вида.
- •36. Выпуклость и вогнутость. Критерии для дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций. Взаимное расположение графиков и касательных.
- •37. Точки перегиба. Критерий. Касательная в точке перегиба.
- •38. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
Производные высших порядков.
Пусть функция y=f(x) дифференцируемая на некотором промежутке. Производная у'=f'(х) называется производной 1-го порядка и представляет собой так же функцию от х.
Производная от производной 1-го порядка – называется производной 2-го порядка от функции у=f(x) и обозначается у'', илиf''(х), илиd²y/dx², (d/dx)*(dy/dx),dy'/dx. Таким образом, у''=(у')'. Аналогично от производной 2-го порядка, если она существует, называется производной третьего порядка от функции у=f(x). Обобщив скажем, что производнаяn-го порядка от заданной функции у=f(х), если она существует, называется производной от производной (n-1)-го порядка.
Примечания: Что бы найти производную n-го порядка, надо найти все предшествующие производные до (n-1)-го порядка включительно.
Производные выше 1-го порядка называются производными высших порядков. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.
Формула Лейбница.
Пусть у=U*V,U=U(x),V=V(x) – некоторые функции имеющие производные любого порядка. Формула Лейбница имеет вид:
Как видно, коэффициент в формуле Лейбница то же, что и в разложении Бинома-Ньютона
Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция у=f(x) –дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Согласно определению дифференциала функции(dy=f'(х)*dx), есть так же функция от х, можно найти дифференциал от этой функции.
Определение: Дифференциал от дифференциала dyназывается дифференциалом второго порядка функции у=f(x) и обозначается(d²y). Таким образом, по определению имеемd²y=d(dy)=(dy')*dx=(f ’(x)*dx)'*dx=f''(x)*(dx)².
Определение: Аналогично дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка(d³y).
Обобщим, получим что дифференциал n-го порядка функции у=f(х) определяется, как дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции(обозначение). Отсюда можно найти.
Замечание: Дифференциалы высших порядков (начиная со второго) свойством инвариантности не обладают, т.е. выражение для дифференциала различных порядков справедливы только в том случае, когда есть независимая переменная величина.
2) dy=y’(x)∙dx
y”(x)=
d(n)(y)=y(n)(x)∙dxn
y(x(t))
dy=y’(t)∙dt,y’(t)=y’(x)∙x’(t),y”(t)=y”(x)∙x’(t)∙x’(t)+y’(x)∙x”(t)
d2y=y”(t)∙dt2=[y”(x)(x’(t))2+y’(x)∙x”(t)]dt2=y”(x)∙[x’(t)∙dt]2+y’(x)∙x”(t)∙dt2
dxd2x
d2y=y”(x)∙dx2+y’(x)∙d2x
Форма 2-го диф-ла не инвариантна отн-но зависимости аргумента.
23. Производные функций, заданных параметрически.
Часто зависимость между переменными х и у задается параметрическими уравнениями:
х=(t)
y=g(t), гдеt– вспомогательная переменная называемая параметром.
Если функция (t) иg(t) дифференцировались и'(t)0, то производнаяdy/dxот функции у по аргументу х может быть найдена, как отношение дифференциаловdyиdx, т.к.dy=g'(t)*dt, иdy/dx=(g'(t)*dt)/('(t)*dt)=(dy/dt)/(dx/dt)=Yt'/Xt', то естьdy/dx=Yt'/Xt'
Пример 1:
возьмем t=1, тогдаx=2,y=3;y’(2)=7/3
Пример 2: