15. Пределы степенно-показательных функций.

(x)=|(x-a)|^p

(x)=|(x-a)|^q

Если p>qто(x) б.м. более выс. пор-ка

Если (x) одного порядка с (x-a)ⁿ|(x) б.м. пор-каnв т.А

(x)=3x²-x⁵ б.м. в О

(x)=5x²+x⁷ б.м. в О

16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.

1) Рациональные ф-ции-ф-ции f(x), представимые в виде, гдеP(x) иQ(x) – многочлены (Q(x) не нулевой многочлен). Ф-цияf(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех её точек, в которых знаменательQ(x) обращается в ноль.

Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Th. Рациональная ф-ция, гдеP(x) иQ(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которыхQ(x)0.

Это следует из непр-ти многочленов P(x) иQ(x) на всей числовой оси и непрер-ти частного непрер-ых ф-ций во всех точках, в кот-х знам-ль не обр-ся в нуль.

2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.

Алгебр-е +sinx, +e^x

элем-е ф-ции

3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)

Иррац-е ф-ции, т.е. такие ф-ции, не явл-ся рацион-ми, кот-е могут быть заданы композицией конечного числа рациональных ф-ций, степ-х ф-ций с рацион-ми показателями и 4-х арифмет-х действий.

4) Элем-е. Ф-ция: линейная y=c(с-постоянная), степеннаяy=x^,R, показательнаяy=a^x,a>0, логарифмическаяy=log_ax,a>0,a1, тригонометрические ф-цииy=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgxи обратные тригонометрические ф-цииy=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgxназываются основными элементарными ф-циями.

Всякая ф-ция f, кот-я может быть задана с пом-ю формулыy=f(x), содержащей лишь конечное число арифмет-х опер-й над основными элемент-ми ф-циями и композицией, называется элементарной ф-цией.

Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.

5) Нередко в мат. анализе встреч-ся ф-ции . Они имеют специальные названия: первая из них назыв-ся гиперболический синус и обозначаетсяshx, а вторая - гиперболический косинусchx. Таким образом,

Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения

x=acht,y=asht,a>0, -<t<+, явл-ся, в силу формулы (3), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболыx²-y²=a², подобно тому, как уравнения

x=acost,y=asint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружностиx²+y²=a².

17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Опр1. Функцияf(x) называется дифференцируемой в данной точкеx , если приращениеyэтой функции в точкеx, соответствующее приращению аргументаx, может быть представлено в виде

,

где A– некоторое число, не зависящее отx, а- функция аргументаx, являющаяся бесконечно малой приx0.

Т.к. произведение двух бесконечно малых x является бесконечно малой более высокого порядка, чем x, то можно определение переписать ;(А = f ’(x)).

Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.

A=y’(x)

1) y’(x)-сущ-ет.

∆y(x)=y’(x)∙∆x+(∆x)

2) Пусть ф-ция диф-ма

∆y=A∙∆x+(∆x) |:∆x

y’(x)=A

Опр2.Производной ф-иейy=f(x) в точке хназ. предел прих0 отношения приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует)

Обозначение:.

По определению =lim.

Ф-ия , имеющая производную в каждой точке интервала (а,в) наз. дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной ф-ии наз. дифференцированием.

Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.

Предл. Если ф-ция y(x) дифф-а в т.х. то она непр-на

∆y=A∙∆x+(∆x)

∆x→0

Замеч. Обратное утверждение не верно, ф-ция может быть непр-на, но не дифф-а.

y=|x| x=0

y(0)=0

∆y=|∆x|

∆y=y(0+∆x)-y(0)

не=> она не дифф-ма.