1.15.4. Структура общего решения.

Яндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com 

Теорема 4. Если   - линейно независимые на   решения линейного однородного дифференциального уравнения  -го порядка   с непрерывными коэффициентами  , то функция

,                                                   (9)

где   - произвольные постоянные, является общим решением уравнения  , т. е. сумма (9) при любых  , есть решение этого уравнения и, обратно, всякое решение этого уравнения представимо в виде суммы (9) при соответствующих значениях  .

Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при любых   есть решение уравнения  . Пусть, обратно,   есть произвольное решение этого уравнения. Положим

.                   (10)

Для полученных чисел   составим линейную систему уравнений относительно неизвестных чисел  :

                                                             (11)

Определитель системы (11)   не равен нулю, так как функции   — линейно независимые на   решения уравнения  . Поэтому существует единственная система чисел  , удовлетворяющих уравнениям (11). Подставляя их в (9), получим решение нашего уравнения в виде

,

удовлетворяющее тем же начальным условиям (10), которым удовлетворяет  . Но тогда на основании теоремы существования и единственности имеет место равенство  . Теорема доказана.

Таким образом, чтобы найти общее решение однородного уравнения  , достаточно найти какие-нибудь   линейно независимых решений этого уравнения, и тогда общее решение будет их линейной комбинацией (9). Напомним, что любую совокупность из   линейно независимых частных решений уравнения   мы условились называть фундаментальной системой решений этого уравнения.

Возникает вопрос, всегда ли существует фундаментальная система (3) с непрерывными коэффициентами? Покажем, что существует.

Зададим   векторов

Каждому из этих векторов приведем в соответствие решение   уравнения (3). Именно, пусть   есть решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Определитель Вронского   для этой системы решений при  , очевидно, есть определитель матрицы, составленной из векторов  . Он равен 1:

.

Но тогда система решений   линейно независима, потому что для зависимой системы определитель Вронского был бы тождественно равен нулю.

20.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Ответ на вопрос 21-23

4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение ,                                       (8) где   – вещественные постоянные. Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8):                                                                (9) Пусть  - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи: а)  - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет  ; б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е.  , тогда общее решение будет  в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид  . Пример 8. Решить уравнение, y"-4y¢+3y=0, y(0)=6, y¢(0)=10. Решение. Составим характеристическое уравнение  . Решим  .  - корни различны. Значит,  . Используя начальные условия, определим  , так как y(0)=6 и y¢(0)=10, то   и  . Решаем систему: Получаем  , тогда частное решение имеет вид:  . Пример 9. Решить уравнение y"+9y=0. Решение. Составим характеристическое уравнение  . Решаем его:  , отсюда  . Корни характеристического уравнения комплексные: α=0, β=3. Тогда общее решение имеет вид   или  .

24.Линейные неоднородные уравнения. Принцип суперпозиции. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

с непрерывными коэффициентами a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и непрерывной правой частью f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений.

1. Если y₁(x) и y₂(x)— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0

то любая их линейная комбинация y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y₁(x) и y₂(x) — два решения линейного неоднородного уравнения L(y) = f(x) , то их разность y(x) = y₁(x) − y₂ (x) является решением однородного уравнения L(y) = 0 .

 

3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

 

4. Если y₁(x) и y₂(x) — решения линейных неоднородных уравнений L(y) = f₁(x) и L(y) = f₂(x) соответственно, то их сумма y(x) =y₁(x) + y₂(x) является решением неоднородного уравнения L(y) = f₁(x) + f₂(x).

 

Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции.