матемтика 5

Задание 5. Решить линейное матричное уравнение

Решение.

С==

=

Задание 15. Найти произведение матриц

Решение.

A=; B=

С=AB

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом: C_1,1 = A_1,1 · B_1,1 + A_1,2 · B_2,1 = = 3 · 6 + 1 · 0 = 18 + 0 = 18 C_1,2 = A_1,1 · B_1,2 + A_1,2 · B_2,2 = = 3 · 4 + 1 · (-3) = 12 + (-3) = 9 C_1,3 = A_1,1 · B_1,3 + A_1,2 · B_2,3 = = 3 · 3 + 1 · 2 = 9 + 2 = 11 C_1,4 = A_1,1 · B_1,4 + A_1,2 · B_2,4 = = 3 · 1 + 1 · (-1) = 3 + (-1) = 2 C_2,1 = A_2,1 · B_1,1 + A_2,2 · B_2,1 = = (-2) · 6 + 1 · 0 = (-12) + 0 = -12 C_2,2 = A_2,1 · B_1,2 + A_2,2 · B_2,2 = = (-2) · 4 + 1 · (-3) = (-8) + (-3) = -11 C_2,3 = A_2,1 · B_1,3 + A_2,2 · B_2,3 = = (-2) · 3 + 1 · 2 = (-6) + 2 = -4 C_2,4 = A_2,1 · B_1,4 + A_2,2 · B_2,4 = = (-2) · 1 + 1 · (-1) = (-2) + (-1) = -3 C_3,1 = A_3,1 · B_1,1 + A_3,2 · B_2,1 = = 11 · 6 + 2 · 0 = 66 + 0 = 66 C_3,2 = A_3,1 · B_1,2 + A_3,2 · B_2,2 = = 11 · 4 + 2 · (-3) = 44 + (-6) = 38 C_3,3 = A_3,1 · B_1,3 + A_3,2 · B_2,3 = = 11 · 3 + 2 · 2 = 33 + 4 = 37 C_3,4 = A_3,1 · B_1,4 + A_3,2 · B_2,4 = = 11 · 1 + 2 · (-1) = 11 + (-2) = 9

C=		18	9	11	2
		-12	-11	-4	-3
		66	38	37	9

Задание 25. Решите систему линейных уравнений как матричные уравнения АХ=В. Выполните проверку, решив систему по формулам Крамера

Решение.

A=		1     3     2     -4     5     1     -3     1     4
B=	2 6 -4

X=

x1 x2 x3

Тогда матричное уравнение запишется в виде A · X = B. Найдем детерминант матрицы А

det||A|| =

1     3     2     -4     5     1     -3     1     4

=

=

1

·

5   1   1   4

-

3

·

-4   1   -3   4

+

2

·

-4   5   -3   1

=80

Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A^-1. Умножим слева обе части уравнения на A^-1: A^-1·A·X = A^-1·B, тогда получим E·X = A^-1·B, или X = A^-1·B. Найдем обратную матрицу A^-1.

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M1,1 = (-1)1+1

5     1     1     4

=

19

M1,2 = (-1)1+2

-4     1     -3     4

=

13

M1,3 = (-1)1+3

-4     5     -3     1

=

11

M2,1 = (-1)2+1

3     2     1     4

=

-10

M2,2 = (-1)2+2

1     2     -3     4

=

10

M2,3 = (-1)2+3

1     3     -3     1

=

-10

M3,1 = (-1)3+1

3     2     5     1

=

-7

M3,2 = (-1)3+2

1     2     -4     1

=

-9

M3,3 = (-1)3+3

1     3     -4     5

=

17

M =	19     13     11     -10     10     -10     -7     -9     17

MT =	19     -10     -7     13     10     -9     11     -10     17

Найдем обратную матрицу

A-1 = MT/det(A) =

19/80     -1/8     -7/80     13/80     1/8     -9/80     11/80     -1/8     17/80

Найдем решение

X = A-1 · B =

19/80     -1/8     -7/80     13/80     1/8     -9/80     11/80     -1/8     17/80

·

2 6 -4

=

0.075 1.525 -1.325

Ответ:

x1 =

0.075

,

x2 =

1.525

,

x3 =

-1.325

.

Проверка

∆ =

1     3     2     -4     5     1     -3     1     4

=

80

∆1 =

2     3     2     6     5     1     -4     1     4

=

6

∆2 =

1     2     2     -4     6     1     -3     -4     4

=

122

∆3 =

1     3     2     -4     5     6     -3     1     -4

=

-106

x1 =	∆1	=	6	=			0,075
	∆		80
x2 =	∆2	=	122		=			1,525
	∆		80
x3 =	∆3	=	-106			=			-1.325
	∆		80

Задание 35. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместимость и решить двумя способами: а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления.

Решение.

1) Метод Гаусса

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

	2	-1	-1	4
	3	4	-2	11
	3	-2	4	11

1-ую строку делим на 2

	1	-0.5	-0.5	2
	3	4	-2	11
	3	-2	4	11

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3; 3

	1	-0.5	-0.5	2
	0	5.5	-0.5	5
	0	-0.5	5.5	5

2-ую строку делим на 5.5

	1	-0.5	-0.5	2
	0	1	-1/11	10/11
	0	-0.5	5.5	5

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -0.5; -0.5

	1	0	-6/11	27/11
	0	1	-1/11	10/11
	0	0	60/11	60/11

3-ую строку делим на 60/11

	1	0	-6/11	27/11
	0	1	-1/11	10/11
	0	0	1	1

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -6/11; -1/11

	1	0	0	3
	0	1	0	1
	0	0	1	1