1.15.3. Определитель Вронского.

Теорема 2. Если функции   линейно зависимы на   и имеют производные до  -го порядка, то определитель

.                                   (7)

Яндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com 

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначается символом  .

Доказательство. Так как функции   линейно зависимы на  , то существуют такие не все равные нулю числа  , при которых выполняется тождество (4) на  . Дифференцируя его   раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение   (т. е. хотя бы одно  ) при  . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского  , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если   хотя бы в одной точке  , то функции   линейно независимы на  .

Пример 2. Функции   линейно независимы на любом  , так как

.

Пример 3. Функции   линейно независимы на любом  , если   - различные числа (действительные или комплексные).

В самом деле.

,

так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных   не равен нулю.

Пример 4. Функции   линейно независимы на любом  .

Так как   и

,

то линейная независимость указанных функций вытекает из второго примера.

Теорема 3. Для того чтобы решения   линейного дифференциального однородного уравнения   с непрерывными коэффициентами были линейно независимыми на  , необходимо и достаточно, чтобы   для всех  .

Доказательство. 1) Если   на  , то функции   линейно независимы независимо от того, являются они решениями уравнения   или нет (см. замечание).

2) Пусть   являются линейно независимыми функциями на   и являются решениями уравнения  .

Докажем, что   всюду на  . Допустим противное, что существует точка  , в которой  . Выберем числа  , одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

                                                           (8)

Это можно сделать, так как определитель системы (8) есть  . Тогда в силу теоремы 1 функция   будет решением уравнения   с нулевыми начальными условиями (по (8))

.

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение  . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим   начальным условиям, может быть только одно, следовательно,   на   т. е. функции   линейно зависимы на  , что не предполагалось. Теорема доказана.

Если   - разрывные функции в интервале, где мы ищем решение, то уравнение   может иметь не одно решение, удовлетворяющее начальным условиям  , и тогда возможно, что   на  .

Пример 5. Легко проверить, что функции

линейно независимы на   и для них   на  .

Это связано с тем, что функция   является общим решением уравнения

,

где   разрывна в точке  . Для этого уравнения теорема существования и единственности не имеет места (в окрестности точки  ). Не только функция  , но и функция   является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим условиям   и   при  .