18.Лоу.Общие св-ва решений

3. Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид:

то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных   и  . Коэффициенты   и   и правая часть   этого уравнения непрерывны.

Если правая часть уравнения  , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же  , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным.

Пусть   и  –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных.

Теорема 1. Если   и  –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то   так же является решением этого уравнения.

Так как   и  –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть

Подставим   в уравнение (9). Тогда имеем:

 в силу (10). Значит,  –решение уравнения.

Теорема 2. Если  _–решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то   также является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставим   в уравнение (9). Получим:   то есть  –решение уравнения.

Следствие. Если   и  –решения уравнения (9), то   так же является его решением в силу теорем (1) и (2).

Определение. Два решения   и   уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке  ), если можно подобрать такие числа   и  , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на  , то есть если  .

Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения   и   называются линейно независимыми (на отрезке  ).

Очевидно, решения   и   будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть   (или наоборот  ).

В самом деле, если   и  –линейно зависимы, то  , где по меньшей мере одна постоянная   или   отлична от нуля. Пусть, например,  . Тогда  ,  ,   Обозначая   получим  , то есть отношение  _–постоянно.

Обратно, если   то  . Здесь коэффициент при  , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что   и   являются линейно зависимыми.

Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если   и  –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным.

Например, функции   и   при  _–линейно независимы, так как  , так как  . А вот функции 5x и x–линейно зависимы, так как их отношение  .

Теорема. Если   и  –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация  , где   и  –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним)   является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных   и  .

Если решения   и  –линейно независимы, то  _–общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной.

В тоже время, если бы   и   были линейно зависимыми решениями, то   уже не являлось бы общим решением. В этом случае  , где α–константа. Тогда    , где   является постоянной.   не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.

Итак, общее решение уравнения (9):

где   и  –линейно независимые частные решения этого уравнения, а   и  _–произвольные постоянные.