17.Уравнения высших порядков.Случаи понижения порядка

14.4.2. Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.  14.4.2.1. Уравнение вида   решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:    Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.  14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда   z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид  , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахожденияz(x) последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).  Пример: решить задачу Коши:  .  Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции  . Тогда  , и уравнение примет вид  . Это - уравнение Бернулли; пусть z = uv, тогда  ,  ,  ,     следовательно,  . Относительно y(x)- это уравнение  . Мы можем последовательно находить   и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия   при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C₁:  . Теперь  . Из условия   при x = 1 находим C₂:  ; из условия y = 3 при x = 1 находим C₃:  . Окончательный ответ:  .  14.4.2.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения  , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость   от y:  . Старшие производные y по xвычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:  .

Аналогично,    Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка   в результате таких преобразований получим  , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁) этого уравнения решается уравнение  , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.  Примеры: 1. Задача Коши  .  Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем  ,  , тогда  . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений  , поэтому рассматриваем два случая:  1.  ; 2.  Это - уравнение с разделяющимися переменными:  . Получено уравнение  , решаем его:    . Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение y = C при C₂ = 0. Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из  . Далее, из   следует, что  , т.е. C₂ = 0. Частное решение -  , т.е. y = 2.  Пример 2.    Решение:    . Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть  , то получим  . Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению  . Находим  :  . Ответ: решение задачи Коши  .

14.4.2.4. Применение интегрируемых комбинаций. Иногда удаётся заметить, что в уравнении   правая часть является производной некоторой функции  , т.е. уравнение имеет вид  . Интегрируя по x, получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения):  .  Пример:  . Если переписать это уравнение в виде   и сообразить, что справа стоит производная функции  , то получим  , откуда  . Это уравнение не содержит явно y, поэтому    .