8Замена переменной в определённом интеграле

Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t Î [α, β]. Тогда справедливо равенство Действительно, пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f ( x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t Î [ α, β]. Поэтому Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

9. задачи приводящие к понятию Двойного интеграла

задача о вычислении массы неоднородного тела T по известной объемной плотности ρ(M) этого тела естественным образом приводит нас к понятию тройного интеграла.

Для вычисления массы указанного тела T разобьем его на достаточно малые участки T1, T2, ..., Tn. Приближенно можно считать объемную плотность ρ(M) каждого участка Tk постоянной и равной ρ(Mk), где Mk - некоторая точка участка Tk. В таком случае масса каждого участка Tk будет приближенно равна ρ(Mk) · vk, где vk - объем участка Tk.

Приближенное значение массы всего тела T будет равно сумме Точное значение массы естественно определить как предел указанной суммы при неограниченном уменьшении каждого участка Tk. Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции ρ(Mk) по трехмерной области T.

Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводонного цилиндра (т. е. объема изображенного на рисунке тела, лежащего под графиком неотрицательной функции z = f(x, y) в некоторой двумерной области D). Эта задача приводит к понятию двойного интеграла от функции f(x, y) по двумерной области D.

10. Определение и существование двойного интеграла

Определение двойного интеграла для прямоугольника

Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] Разобьем сегмент a ≤ x ≤ b на n частичных сегментов при помощи точек a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, а сегмент c ≤ y ≤ d на p частичных сегментов при помощи точек c = y0 < y1 < y2 < ... < yp = d.

Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников Rkl = [xk-1 ≤ x ≤ xk] × [yl-1 ≤ y ≤ yl] (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

На каждом частичном прямоугольнике Rkl выберем произвольную точку (ξk, ηl). Положив Δxk = xk - xk-1, Δyl = yl - yl-1, обозначим через ΔRkl площадь прямоугольника Rkl. Очевидно, ΔRkl = ΔxkΔyl.

Число называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (ξk, ηl) на частичных прямоугольниках разбиения T.

число I называется пределом интегральных сумм (1) при Δ → 0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что при Δ < δ независимо от выбора точек (ξk, ηl) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| σ - I | < ε.

Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при Δ → 0.

Указанный предел I называется двойным интегралом от функции f(x, y) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов:

1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем

2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D