Понятие базиса. Аффинные координаты

Определение. 3 линейно независимые вектора образуют в пространстве базис , если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , то есть

. (1)

Это разложение вектора в базисе .

Определение. Числа называются координатами вектора в базисе то есть координаты вектора это коэффициенты линейной зависимости , выражающие данный вектор через данный базис.

Определение. Базис , в котором векторы произвольны называется аффинным . 23

Теорема 1. Всякий вектор может единственным образом разложен в данном базисе.

Доказательство. Пусть

(1)

и ещё есть разложение

(2)

Вычтем из (1) (2) 0 = , так как - базис , то эта линейная комбинация выполняется тогда, когда отсюда , то есть разложения совпадают ч.т.д.

Определение. Три некомпланарных вектора с общим началом О называются аффинным базисом и обозначается { O, }.

= {

O

Определение. Вектор , соединяющий начало и точку М, называется радиусом вектором точки М.

Декартова система координат ( д.С.К.)

Определение. Аффинный базис { O, } , у которого векторы лежат на взаимно ортогональных осях и длины равны единицы, называется декартовым ортогональным базисом , принято обозначать { 0, }.

В силу теоремы о разложении вектора в базисе для д.с.к.

X,Y,Z – координаты вектора , – орты .

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны ортогональным проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно.

Доказательство. Сделаем рисунок

Z

M = +

_xOM ;

k _y OM;

o j y _z OM;

i по построению.

P

x 24

; ; , так как коллинеарны.

_xOM = ^° = ; _y OM=

_z OM = ч. т. д.

Определение. Проекции вектора на оси координат называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

Теорема Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноимёнными координатами.

Пример. Найти координаты вектора , если ;

Решение. По теореме x_c=1+3 =1; y_c =2+3 -13; z_c = 3+3 3= 12

Ответ. = {1, -13, 12}.

Определение. Радиус вектор – это вектор , соединяющий начало координат и точку А , обозначается = { X,Y,Z}.

ЛЕКЦИЯ 6. Длина вектора. Направляющие косинусы.

Пусть вектор , так как он является диагональю параллелограмма , то по теореме из школы ² = ² = ² = ² или ² = X² +Y² +Z² отсюда

(1)

Рассмотрим вектор ; точки А( и В (

z A

B ; ; ={ } ,

^k так как и - проекции , то

x i j y = { , a модуль вектора

Обозначим углы наклона вектора c осями координат ox,oy,oz соответственно .

Определение. Косинусы углов, образованных между вектором и осями координат , называются направляющими косинусами вектора

z Если вектор ={ x,y,z} , то x = ;

y= ; z = , как проекции ,отсюда

x o y , или

= ; = ; = (1)

Возведём в квадрат обе части равенств (1) и сложим , получим

25

co + co +co = + + = 1.

условие того , что углы вектора с осями координат.