Собственные числа и собственные векторы матрицы
11
Определение. Характеристическим уравнением матрицы А =
называется
уравнение
Корни этого
уравнения
называются характеристическими
числами матрицы.
Определение.
Система уравнений
в которой
имеет одно из значений
( и определитель которой в силу этого
равен 0 ) определяет тройку чисел (
, соответствующую данному характеристическому
числу, эта совокупность трёх чисел
определяет вектор
, называемый собственным вектором
матрицы
Пример.
Дана матрица
, найти её характеристические числа и
собственные векторы.
Решение.
Составляем характеристическое уравнение
= 0
.
1).
подставляем
в систему
эта система имеет бесчисленное множество
решений , полагаем
,
тогда
и собственный вектор
.
Аналогично.
2).
,
,
.
Лекция. 3 Матричная запись и матричное решение систем уравнений 1-го порядка. Ранг матрицы.
Пусть
дана система алгебраических уравнений
Коротко эту систему можно записать в тензорном виде :
,
i = 1
m. (2)
12
Обозначим:
A
=
; X =
; B =
,
тогда
A∙X
=
∙
=
=
. (3)
Такая запись (3) системы называется матричной формой.
A
X = B
операторная форма
(4)
Обе части равенства (4) умножим слева на обратную матрицу
A X = B, получим E X = X , но E X = X , поэтому
-матричное решение системы (1) .
Пример.
Матричным методом решить систему :
Решение.
Решение будем находить в виде X
=
, для этого найдём обратную матрицу для
матрицы А, составленную из коэффициентов
при неизвестных
А
, X =
, B =
.
Матрица найдена в предыдущем примере :
=
13
X
=
=
=
Ответ:
.
ПОНЯТИЕ О РАНГЕ МАТРИЦЫ
Пусть
имеем матрицу из m строк
и n столбцов
Определение. Минором k-го
порядка матрицы А называется определитель
квадратной матрицы , получающийся из
данной матрицы выделением произвольных
k строк и k
столбцов .
Например:
А =
- минор 3-го порядка.
=
- минор 2-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля её миноров.
Обозначается:
rang A = 3 или
Если ранг матрицы А равен r , то это означает , что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка чем r равен нулю .
Пример.
Найти rang матрицы.
A =
. Начинаем искать миноры не равные
нулю с наибольшего порядка.
=
;
=
7
0.
Делаем вывод
, что
, так как минор 3-го порядка отличен от
нуля.
Этот метод нахождения ранга матрицы достаточно трудоёмкий , так как
14
приходится вычислять много определителей.