Предел функции при X

Определение. Число А называется пределом функции y= f(x) при x , если каково бы ни было положительное число , можно найти такое число N , что для всех x , больших N , выполняется неравенство Обозначается .

Коротко это определение можно записать так: число А называется пределом функции y = f(x) при x , если ( N _x (x .

Раскроем последнее неравенство . – < f(x) – A < или (A – < f(x) <( A + Геометрически это неравенство можно изобразить следующим образом:

y

A A+

A-

0 .N x

Определение. Число А называется пределом функции y =f(x) при x , если ( (x <M) .

Изобразим геометрически.

Y A+

A

A-

0 .M x

63

Предел функции при X

Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при x x₀ слева , если каково бы ни было положительное число , найдётся такое число N ( меньше x₀), что для всех x, лежащих между N и x₀ (N<x<x₀ ) ,выполняется неравенство Обозначается: .

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀ слева , если ( x₀ ) (N<x<x₀ ) < . Геометрически:

Y

A+

A

A-

0 .N x₀ x

Определение. Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа , если каково бы ни было положительное число найдётся такое число М >x₀ , что для всех x ,лежащих между x₀ и М ( x₀ <x<M) выполняется неравенство Обозначается

Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа , если ( x₀ ) (x₀<x<M ) < . Геометрически:

y

A+

A

A-

0 x₀ .M x

Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Если оба предела равны , то говорят , что функция y(x) в точке x = x₀ имеет предел.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀, если каково бы ни было >0, можно найти такие числа M и N ( N<x₀ <M) , что для всех x, лежащих в интервале ] N, M [ выполняется неравенство

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀ , если ( ₀ <M) (x ) Геометрически:

64

y

A+

A

A-

0 .N .x₀ .M x

Определение. Любой интервал, содержащий точку x₀ называется окрестностью точки x₀ .

Пример. Проверить , есть ли предел функции f(x) = в

точке x₀ =3.

Решение. Найдём односторонние пределы: =2 ; =0. 2 , односторонние пределы не равны, значит в точке x₀ =3 функция не имеет предела. Геометрически:

y

0 .3 .4 x

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно малой (б.м) при x ,при x x₀, если её предел равен нулю.

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно большой (б.б) при x ,при x x₀ , если для любого положительного числа L можно подобрать такое число N, что для всех значений x>N , выполняется неравенство >L.

Символически это записывается так: ,

Принято символически обозначать: =const.

Примеры. функция; = 2

не б.м. функция.

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором множестве М значений аргумента x, если существует такое число С , что для всех x выполняется неравенство <C.