Другой метод нахождения ранга матрицы

Определение. Элементарными называются следующие преобразования:

1). Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число , отличное от нуля.

2). Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) , умноженных на одно и то же число.

3). Перемена местами строк (столбцов) матрицы.

4). Отбрасывание строк (столбцов) матрицы , все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получаемые одна из другой при элементарных преобразованиях , называются эквивалентными.

Эквивалентные матрицы не равны друг другу , но ранги их равны.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Пример. Вычислить ранг матрицы А.

A =

, rang(A) = 2 .

15

Вывод. Ранг матрицы равен числу единиц , стоящих по диагонали матрицы, если все остальные элементы нули.

Лекция 4. Общая теория решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

Определение. Система (1) называется совместной , если она имеет решение и несовместной , если она не имеет решений.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определённой , если она имеет единственное решение и неопределённой , если она имеет бесчисленное множество решений.

Определение. Две совместные системы уравнений называются равносильными , если каждое решение первой системы является решением второй и обратно.

Теорема Кронекера - Капелли. Кронекер (1823-1891)- немецкий математик. Капелли (1855-1910)-итальянский математик.

Для того , чтобы система линейных уравнений (1) была совместна , необходимо и достаточно , чтобы ранг матрицы системы

был равен рангу её расширенной матрицы

B = , полученную путём добавления к основной матрице А столбца из свободных членов системы.

1). Если r(A) = r(B) = n – числу неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

2). Если же r(A) = r(B) < n , то система (1) имеет бесчисленное множество решений, зависящих от (n – r) параметров (свободных неизвестных).

МЕТОД ГАУССА ( Метод последовательных исключений)

Этот метод продемонстрируем на примере , так как он запрограммирован на электронных машинах и хорошо там просчитывается .

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

16

Установим совместность системы , найдём ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных

det A = =-9+1+30+6-6- 0, значит ранг матрицы А равен 3. Составим расширенную матрицу

В = , так как в ней содержится det A , то rang B также равен 3. Делаем вывод : согласно теореме Кронекера-Капелли r(A)=r(B)=3-числу неизвестных , поэтому система совместна и имеет единственное решение.

Решение. Из 1-го уравнения выражаем и подставляем во 2-е и 3-е Из 2-го уравнения выражаем и подставляем в 3-е.

Теперь обратным ходом из 3-го выражаем и подставляем во 2-е уравнение, из 2-го выражаем и подставляем 1-е , окончательно получаем: 3; = 2; 1.

Ответ: ; ; 3.